Tu pourrais consulter Google : " prêts à annuités constantes ".

Bonjour à tous

Afin "d'essayer" de résoudre ce problème connaissez vous la différence entre la méthode des "INTERETS SIMPLES" et la méthode des "INTERÊTS COMPOSES" en mathématiques (financières) ?

A vous lire

Bonjour
ce n'est pas un prêt à annuités constantes.

Et macontribution, je ne connais pas, je vais me renseigner

Une autre idée?

Bonsoir€,

Il y a sans doute un problème dans ce crédit car les mensualités devraient être autour de 151.90
Les mensualités de 171.27 correspondraient à un taux de près de 27% ....
A vérifier !!!

calcul sur tableur : Soit M la mensualité fixe
Soit P le prêt à rembourser au début de chaque mois et t=0.199/12 le taux mensuel
le début de mois suivant P devient P(1+t)-M

Bonsoir  Sherlocked,

Pour votre information, je vous signale, si ça peut vous aider, que conformément aux usages bancaires ainsi qu'aux très abondantes dispositions législatives et réglementaires applicables à l'espèce, les opérations de crédit de cette nature suivent la règle de composition de l'intérêt.

Deux autres remarques :
1) Il s'agit bien d'un amortissement par annuités constantes (selon votre énoncé, l'emprunteur « paye 171.27 euros par mois pendant quarante huit mois »)

2) À moins que la mensualité de 171,27€ n'inclue une cotisation d'assurance facultative d'un montant substantiel, le prêt en question, s'il était récent, crèverait allègrement le plafond de l'usure, car son  TAEG ressortirait alors à 30,54 % !!
(le prêteur serait alors passible de lourdes sanction pénales, sans préjudice des conséquences sur le plan civil)

Cordialement.

Vertigo

Le monde de la finance n'est pas simple et il faut connaître des définitions afin de "parler" le même language.


I - QUELQUES DEFINITIONS


A) ANNUITES

Le terme annuités désigne une suite de versements effectués à intervalles de temps constants.

Si l'intervalle de temps est le mois les versements seront appelés mensualités
Si l'intervalle de temps est le trimestre les versements seront appelés trimestrialités
Si l'intervalle de temps est le semestre les versements seront appelés semestrialités
Si l'intervalle de temps est l'année les versements seront appelés annuités

B) LES ELEMENTS CONSTITUTIFS D'UNE SUITE D'ANNUITES

1) La date du premier versement

2) La période

La période est la durée constante qui sépare deux versements constants consecutifs

3) Le nombre de versements appelés "n"

4) Le montant de chacun des versements constants

5) Et L'ORIGINE DE LA SUITE D'ANNUITES

Cette notion est tres peu explicité dans les contrat d'emprunt car elle est "sous-entendu" par l'usage.

L'origine d'une suite d'annuités se situera une PERIODE  AVANT LE VERSEMENT DE LA PREMIERE ANNUITE.

Surtout ne pas oublier que la periode peut être un mois, un trimestre etc etc.

C) INTERETS COMPOSES

1) Méthode de calculs

Pour le calcul des intérêts il est utilisée la méthode dite des "INTERETS COMPOSES".
Dans cette méthode, à la fin de la période,les intérêts sont ajoutés au capital pour produire à leur tour des intérêts.

2) Calcul du taux période

Le taux d'intérêt est donné pour une année.
Si la période est différence d'une année le taux périodique est calculé suivant la méthode dite du "TAUX D'INTERET EQUIVALENT".

C) MAINTENANT

Le lecteur connait des définitions, il est capable d'appelé un chat un chat et un tigre un tigre et cela évitera bien des……erreurs (fatales).


II - LA FORMULE FONDAMENTALE EN MATIERE D'EMPRUNT


La valeur actuelle d'une suite de versements constants pendant "n" périodes, encore appelée le capital remboursé par une suite de versements constants nous est donnée par la formule suivante  :


V(0)     =   a * {1 -[ (1+i)ˉⁿ ]  }  /  i

avec :

V(0) = capital emprunté
a = montant du versement périodique constant
i = taux d'intérêt périodique pour 1
n = nombre de versments constants

REMARQUES IMPORTANTES

1) Les termes "V(0) et "a" sont faciles à calculer on applique directement la formule.

2) Le terme "n" demande d'appliquer la formuler en ensuite d'utiliser les logarithmes

3) Le terme "i" représentant le taux d'intérêt périodique est très diffile à calculer.

En effet le taux d'intérêt figure au numérateur et au dénominateur.

On calcule le taux en utilisant :

a) la méthode de NEWTON : je n'ai jamais utlisée cette méthode (désolé)

b) les solveurs des calculatrices perfectionnées ou les tableurs-solveurs (si vous en possedez un)

c) et enfin la méthode (peu mathématique mais efficace) des approches successives : on cherche le taux par tâtonnement…… c'est la méthode que j'utilise.

d) il exite aussi des tables dites "TABLES FINANCIERES" mais qui, à ce jour, sont peut utilisées.


III - APPLICATION NUMERIQUE


A) LES ELEMENTS DU PROBLEME

Il est démandé de déterminer le taux (le terme le plus difficile à calculer !!!!!!!) de l'emprunt répondant aux conditions suivantes  :

* Le capital emprunté est de 5 000,00   euros
* la durée de remboursement est de 48   mois
* le montant des mensualités constantes périodiques est de 171,27   euros.

B) ANALYSE DU PROBLEME

On est en présence d'une valeur actuelle d'une suite de versements constants pendant "n" périodes, encore appelée le capital remboursé par une suite de versements constants nous est donnée par la formule suivante  :

V(0)     =   a * {1 -[ (1+i)ˉⁿ ]  }  /  i

avec :

V(0) = capital emprunté = 5 000,00   euros
a = montant du versement périodique constant 171,27   euros
i = taux d'intérêt périodique pour 1 : à calculer
n = nombre de versements constants = 48  

C) RESOLUTION DU PROBLEME


V(0)     =   a * {1 - (1+i)ˉⁿ   }  /  i

5 000,00   = 171,27   *  {  1 -  (1+i) ¯⁴⁸ }  /  i

5 000,00   / 171,27   =    {  1 -  (1+i) ¯⁴⁸ }  /  i

29,19367081 =    {  1 -  (1+i) ¯⁴⁸ }  /  i

On va résoudre ce problème par approches successives


A)PREMIERE APPROCHE

Soit  "i" le taux d'intérêt mensuel de 2,0000000   % par mois soit 0,0200000   pour 1

on a :

i = 0,0200000   pour 1
(1 + i) = 1,0200000  
(1+i) ¯⁴⁸ = 0,386537609

On a ;

29,19367081 =    {  1 -  (1+i) ¯⁴⁸ }  /  i
29,19367081 = { 1 -0,386537609 } / 0,0200000  
29,19367081 = 0,613462391 / 0,0200000  
29,19367081 = 30,6731196  

soit une différence de -1,4794488  

Conclusion le taux est supérieur à 2,0000000   % par mois soit 0,0200000   pour 1


B)DEUXIEME APPROCHE

Soit  "i" le taux d'intérêt mensuel de 2,3000000   % par mois soit 0,0230000   pour 1

on a :

i = 0,0230000   pour 1
(1 + i) = 1,0230000  
(1+i) ¯⁴⁸ = 0,3357141

On a ;

29,19367081 =    {  1 -  (1+i) ¯⁴⁸ }  /  i
29,19367081 = { 1 -0,3357141 } / 0,0230000  
29,19367081 = 0,6642859 / 0,0230000  
29,19367081 = 28,8819957  

soit une différence de 0,3116752  

Conclusion le taux est inferieur  à 2,3000000   % par mois soit 0,0230000   pour 1


C) DERNIERE APPROCHE (après quelquessss essais)

Soit  "i" le taux d'intérêt mensuel de 2,2458388   % par mois soit 0,0224584   pour 1

on a :

i = 0,022458388   pour 1
(1 + i) = 1,0224584  
(1+i) ¯⁴⁸ = 0,344357208

On a ;

29,19367081 =    {  1 -  (1+i) ¯⁴⁸ }  /  i
29,19367081 = { 1 -0,344357208 } / 0,022458388  
29,19367081 = 0,655642792 / 0,022458388  
29,19367081 = 29,1936711  

soit une différence de -0,0000003  

Conclusion le taux est proche de 2,2458388   % par mois soit 0,022458388   pour 1


D) Solution

Le taux d'intérêt mensuel calculé suivant la méthode d'équivalence est proche de 2,2458388   % par mois soit 0,022458388   pour 1

Le taux d'intérêt annuel calculé suivant la méthode du taux d'intérêt équivalent est de

( 1,022458388   ¹²- 1  )

1,305412315 -1
0,305412315 pour 1 arrondi à 0,30541  

Le taux d'intérêt annuel calculé suivant la méthode du taux équivalent est de 0,30541   pour 1 l'an soit 30,54   % l'an



Montant identique à celui trouvé par VERTIGO

Je salut VERTIGO et je fais mienne aussi  ses conclusions.

Bonjour,

Ce taux d'intérêt annuel est bien au-delà de ce qui est admissible,
il doit donc y avoir un supplément aux mensualités normales : Pour "assurance volontaire" ?

Bonjour à tous,

Je remercie Macontribution de ses abondants développements théoriques, que je confirme en tous points, et qui devraient être très profitables au demandeur Sherlocked.

Pour Vham :
En effet, la pratique d'un tel taux serait de nos jours parfaitement inadmissible puisque constitutif du délit d'usure.
Comme déjà mentionné, Il faudrait savoir si ces mensualités de 171,27€ n'incluent pas une importante cotisation d'assurance facultative car de telles cotisations, si elles se rapportent à une option d'assurance facultative, n'entrent pas dans le calcul du TAEG (taux annuel effectif global) qui sert notamment à apprécier le dépassement du seuil de l'usure.

Cordialement à tous

Vertigo.

P.S. dans le cas d'espèce de l'énoncé de Sherlocked, il existe une équation d'équivalence
écrite directement en fonction du taux équivalent annuel (bien que les échéances soient mensuelles), et dont la solution, recherchée au moyen d'un outil de calcul numérique approprié, fournit donc directement le taux équivalent annuel.
Je n'ai pas le temps dans l'immédiat, mais je revendrai sur ce point.