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Preuve
Bonjour.
Voici la proposition suivante : ""Soient et
. On suppose que
est un intervalle. On a que
est un
- difféomorphisme de
sur
ssi
.""
Pour le sens réciproque de la démonstration que mon prof a faite, on a écrit (sans tout détailler) : ""
On montre que est un
difféomorphisme par itération. On utilise
(*)
- Pour le rang , on a que
est dérivable, donc de classe
en particulier, donc on a le résultat pour ce rang.
- Soit . On suppose
de classe
, en utilisant
, on en déduit que
est de classe
. On en déduit que
est un
-difféomorphisme. ""
Je ne comprends à quel type de raisonnement par récurrence ce "raisonnement par itération" (que l'on a défini comme étant une récurrence que l'on arrête à un certain rang) correspond, et en quoi il montre rigoureusement le sens réciproque. En vous remerciant pour vos éclaircissements.
Bonsoir,
Tu as oublié une hypothèse fondamentale dans la proposition : que est un difféomorphisme de
sur
(à savoir que
est une bijection et que sa fonction réciproque est dérivable).
Ensuite, pour l'hérédité, on raisonne sur et pas sur
comme tu l'écris. L'objectif est de montrer que
est de classe
.
Enfin, il faut réaliser pour la récurrence que est de classe
si et seulement si
est de classe
.
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