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Preuve d'une sommation

Posté par
Alishisap 29-09-19 à 13:35

Bonjour à tous,

j'aimerais savoir comment vous vous y prendriez pour montrer que pour tout n\in\N^*,

\sum\limits_{k=1}^n\left[\dfrac{1}{(k-1)!}\left( \sum\limits_{j=0}^{n-k}\dfrac{(-1)^j}{j!}  \right)\right]=1

J'ai réussi par récurrence (à un moment on peut utiliser l'égalité bien connue \sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=0) mais ça fait des calculs assez hideux et peut-être qu'il y a largement plus simple, notamment par calcul direct.

Merci !

Posté par
etniopalre : Preuve d'une sommation 29-09-19 à 17:38

m = n - 1
T(m) := { (p,j) ² │ p + j   m }

La somme  S de ton exo est celle de tous les   u(j,p) := \frac{(-1)^j}{p!j!}  , (j,p)  restant  dans le triangle T(m) .


Si pour  0 k m  on désigne par   v(k)  la somme des u(j,p)  (j,p) dans le segment  (k) := [ (j,p) ² │ j + p = k }  on a : S = v(0) + v(1) +....+v(m) .


  


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