Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

preuve que la suite harmonique diverge

Posté par isab (invité) 10-12-07 à 07:17

Bonjour,

Je cherche à démontrer que la suite harmonique diverge, si quelqu'un connait une preuve formelle, ça m'aiderait beaucoup.
Merci

Posté par
freniclere : preuve que la suite harmonique diverge 10-12-07 à 08:01

Bonjour

1/1 1/2
1/2 1/2
1/3 + 1/4 21/4 = 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 41/8 = 1/2
1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 81/16 = 1/2
...
1/(2n + 1) + 1/(2n + 2) + ... + 1/2n+1 2n(1/2n+1) = 1/2
...

Donc la somme des 2n premiers termes est supérieure à (n + 1)/2.

Cordialement
Frenicle

Posté par
freniclere : preuve que la suite harmonique diverge 10-12-07 à 08:02

J'ai compris que tu parlais de la série harmonique

Posté par isab (invité)Merci beaucoup 10-12-07 à 17:01

Oui effectivement, je parlais de la série harmonique lol.  Il était 1:00 du matin ici quand j'ai posté ce message, j'étais un peu fatiguée.

Merci beaucoup

Posté par
Nightmarere : preuve que la suite harmonique diverge 10-12-07 à 17:08

Bonjour,

une preuve assez rapide et qui fournit un équivalent est de comparer la série à une intégrale.

En effet :
Soit x dans [k,k+1] alors : 3$\rm \frac{1}{k+1}\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{k}
En appliquant l'inégalité des accroissements finis sur [k,k+1] on a :
3$\rm \frac{1}{k+1}\le ln(k+1)-ln(k)\le \frac{1}{k}

Soit en sommant sur [1,n] :
3$\rm \Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}\le \Bigsum_{k=1}^{n} ln(k+1)-ln(k)\le H_{n} (H étant la série harmonique)
Ie :
3$\rm H_{n}+\frac{1}{n+1}-1\le ln(n+1)\le H_{n}
Ou encore :
3$\rm ln(n+1)\le H_{n}\le ln(n+1)+\frac{1}{n+1}-1
Soit en divisant par ln(n) :
3$\rm \frac{ln(n+1)}{ln(n)}\le \frac{H_{n}}{ln(n)}\le \frac{ln(n+1)}{ln(n)}+\frac{1}{(n+1)ln(n)}-\frac{1}{ln(n)}
Les deux membres extremes tendent vers 1 d'où 3$\rm H_{n}\sim ln(n)

Posté par
veledare : preuve que la suite harmonique diverge 10-12-07 à 17:22

bonjour,
tu peux aussi former H2n-Hn=1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/(2n)>n/(2n)
donc nN* H2n-Hn>1/2
d'aprés le critère de Cauchy cela suffit à assurer la divergence de la série

Posté par isab (invité)re : preuve que la suite harmonique diverge 10-12-07 à 18:43

Merci beaucoup!
Je vais avoir l'embarras du choix!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !