Niveau Maths sup

primitive

Posté par
mousse42 22-08-17 à 12:45

Bonjour,

Je bloque sur la recherche d'une primitive :

$I(x)=\int\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}dx$

J'ai fait un changement de variable $u:=\dfrac{x}{2}$

Ce qui me donne :

$I(u)=4\int\dfrac{u^2}{\sqrt{u^2-1}}du$ et c'est là où ça bloque,

j'ai essayé de faire un changement de variable en posant $\phi= cos$ ou $\phi=sin$ , mais

$\phi([a,b])$ doit être inclu dans le domaine de $f$ , ce qui n'est pas le cas puisque $f$ n'est pas définie sur $[-1,1]$

Puis-je avoir de l'aide?
Merci

Posté par re : primitive 22-08-17 à 13:11

Bonjour !
Bien sûr tu dois avoir $u^2-1>0$ : ton changement de variables en $\cos t$ n'est donc pas valable.
Tu peux utiliser $u=\varepsilon\cosh t,\;\varepsilon\in\{-1,1\}$ à décider selon l'intervalle où tu travailles (tu dois commencer par définir ces intervalles).

Ou aussi (à essayer si tu ne connais pas les fonctions hyperboliques !) : $u=\dfrac{1}{\cos t}$ en précisant un intervalle convenable pour $t$ ...

Posté par re : primitive 22-08-17 à 13:32

merci luzak

Posté par re : primitive 22-08-17 à 15:01

salut

en transformant un peu l'integrale de depart

x².dx/2.((x/2)²-1)   puis en posant

x/2= chu il vient  dx = 2.shu.du    soit  4.ch²u.2.shu/((ch²u-1))    soit  4.ch²u.du   soit 2(1+ch(2u)).du

sauf erreur

Posté par re : primitive 22-08-17 à 16:46

salut

$I(x) = \int \dfrac {x^2} {\sqrt {x^2 - 4}} dx = \int x \dfrac {2x} {2 \sqrt {x^2 - 4}} dx = [x \sqrt {x^2 - 4}] - \int \sqrt {x^2 - 4} dx$

on pose x = 2 cosh t et la deuxième intégrale vaut $\int 2|\sinh t| 2 \sinh t dt$

Posté par re : primitive 23-08-17 à 09:02

Bonjour flight et carpediem
Attention à vos changements de variables : vous zappez complètement le cas $x<-1$ .

Posté par re : primitive 23-08-17 à 14:05

oui on fera attention que l'intégrande f est une fonction paire (et positive) ...

j'ai travaillé sur ]2, + oo[ et le résultat s'en déduit sur l'intervalle ]-oo, -2[ : ils sont opposés ... plus précisément $-\int_{-2}^{-x} f(x)dx = \int_{-x}^{-2} f(x) dx = \int_2^x f(x)dx$ pour tout x > 2 et pour peu que ces nombres existent bien sur ....

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