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Primitive de 1/(1+x²)²

Posté par
alex999 05-02-09 à 14:29

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide dans la recherche d'une primitive de la fonction x1/(1+x²)².
J'ai essayé avec plusieurs méthodes mais je ne trouve pas un bon résultat (intégrations par partie, méthode des fractions rationnelles). Pour la méthode des fractions rationnelles, j'ai essayé d'écrire la fonction sous la forme (ax+b)/(1+x²)²+(cx+d)/(1+x²) mais cela n'aboutit à rien...

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Primitive de 1/(1+x²)² 05-02-09 à 14:57

Bonjour ;

S'il s'agit d'exprimer les primitives de 3$\blue\fbox{f\;:\;x\to\frac{1}{(1+x^2)^2}} on peut :

\fbox{1} poser 2$\fbox{x=tanu}

\fbox{2} déterminer une primitive avec la nouvelle variable u

\fbox{3} puis revenir à x une fois que c'est fait

tu dois trouver 3$\red\fbox{F\;:\;x\to\frac{1}{2}arctan(x)+\frac{x}{2(1+x^2)}+C^{te}} sauf erreur bien entendu

Posté par
alex999re : Primitive de 1/(1+x²)² 05-02-09 à 14:58

merci

Posté par
maymoure : Primitive de 1/(1+x²)² 20-11-11 à 22:44

Bonsoir,

J'ai remplacé x=tanu mais j'ai pas trouvé le résultat!
j'ai trouvé l'integrale de 1/(1+tan²x)
mais j'ai pas pu la calculer.

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive de 1/(1+x²)² 20-11-11 à 23:01

bonsoir

1/(1+tan²(x)) = cos²(x)

et on linéarise

mm

Posté par
maymoure : Primitive de 1/(1+x²)² 20-11-11 à 23:16

Merci MatheuxMatou , c'est très gentil!
j'ai trouvé le résultat
1+((1/2)*sin(2)), j'ai changé les bornes de l'intégrale en remplaçant x=tan(u).
Est ce que c'est juste?
merci

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive de 1/(1+x²)² 20-11-11 à 23:18

j'en sais rien, je ne sais pas de quoi tu parles !

tu nous dit que tu cherches une primitive, on réponds !

maintenant tu nous parles d'intégrale et de bornes...

où ça ?

Posté par
maymoure : Primitive de 1/(1+x²)² 20-11-11 à 23:20

l'intégrale est sur R

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive de 1/(1+x²)² 20-11-11 à 23:21

hé bien ton intégrale devient de -pi/2 à +pi/2 en u

Posté par
maymoure : Primitive de 1/(1+x²)² 20-11-11 à 23:26

merci pour votre aide
j'ai trouvé pi/2

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive de 1/(1+x²)² 20-11-11 à 23:29

ça doit être ça

pas de quoi

mm

Posté par
alainpaulre : Primitive de 1/(1+x²)² 21-11-11 à 10:29

Bonjour,


Comme suggéré par Alex "par les fractions rationnelles",
"prim" pour primitive de,

prim  ( \frac{1}{1+x^2})^2 = prim  (\frac{1}{1+ix}+\frac{1}{1-ix})^2 /4 \\ \\ = prim  ((\frac{1}{1+ix})^2+(\frac{1}{1-ix})^2 +2/(1+x^2))/4



prim  ( \frac{1}{1+x^2})^2 =\frac{x} {2(1+x^2)}+arctg(x)/2


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