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Primitive de 1/racine(1+x^4)

Posté par
Pei 23-12-11 à 23:52

Bonsoir, cette primitive me pose problème 1/racine(1+t^4)
J'ai tenté de la résoudre en écrivant (1+t^4)^-1/2 mais je ne suis pas convaincu du résultat si quelqu'un pourrai m'expliquer la méthode..
Merc!

Posté par
LeHiboure : Primitive de 1/racine(1+x^4) 24-12-11 à 00:19

Bonsoir,

Décompose 1/(1+t^4) en éléments simples...

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Primitive de 1/racine(1+x^4) 24-12-11 à 09:15

Tu es bien sûr qu'on te demande de trouver une primitive de f(t) =  \frac{1}{\sqrt{1+t^4}} ?

Ou bien c'est une étape qui provient de ta résolution d'un problème plus large ?

Posté par
DHilbertre : Primitive de 1/racine(1+x^4) 24-12-11 à 10:49

Je me trompre peut-être, mais la recherche d'une telle primitive ne fait-elle pas appel à la théorie des fonctions elliptiques ?

A +

Posté par
DHilbertre : Primitive de 1/racine(1+x^4) 24-12-11 à 12:47

Je dois partir. Assez rapidement, en posant x^2=\tan\phi, n'obtient-on pas quelque chose ?

Hint: Sans aucune rigueur, l'on a 2xdx=\dfrac{d\phi}{\cos^2\phi}.

A +

Posté par
Peire : Primitive de 1/racine(1+x^4) 24-12-11 à 13:01

Effectivement je ne vous ai pas exposer le problème en entier. Veuillez m'en excuser..

1)Calculer f'(x) et trouver le sens de variation de f
2) Calculer la limite de f(x) pour tendant vers l'infini
3)2tablir le graphe de f

Au premier coups d'œil je penser qu'il été nécessaire de calculer l'intégrale..

1) Soit F une primitive de f, f(x)=F(2x)-F(x), d'ou f'(x)=2f(2x)-f(x)...

Posté par
Peire : Primitive de 1/racine(1+x^4) 24-12-11 à 15:15

pour le sens de variation j'écris f'(x)=2(F(4x)-F(2x))-(F(2x)-F(x))
f croissante ssi 2(F(4x)-F(2x))>F(2x)-F(x)
  décroissante                 <

f(x) est positive car 1/1+t4 est positive donc

sur + F(4x)-F(2x)>0 et F(2x)-F(x)>0 donc F(4x)>F(2x)>F(x)
F(4x)>F(x) F(4x)-F(2x)>F(x)-F(2x) donc f'(x) est positive donc f est croissante sur +

Comme f est paire et continue f décroissante sur -

Je ne comprend pas en regardant le graphe j'ai plutot tendance à remarquer que l'aire sous la courbe tend à diminuer quand x augmente donc que f est décroissante sur + et croissante sur -

Posté par
DHilbertre : Primitive de 1/racine(1+x^4) 24-12-11 à 18:45

@Pei : Tu ne nous as toujours pas rédigé la totalité de ton exo. Quelle est l'expression de f ? Au vu de ce que tu as rédigé, je ne pense pas que ce soit f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^4}}.  Sinon, le problème est classique et se résout de manière beaucoup plus simple que tu ne le suggères.

A +

Posté par
sabagare : Primitive de 1/racine(1+x^4) 25-12-11 à 11:58

\[{x^2} = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ 2xdx = dt\\ \\ \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {x^4}} }}}  = \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {t\left( {1 + {t^2}} \right)} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}} \\ \end{array} \right.\]

Posté par
sabagare : Primitive de 1/racine(1+x^4) 25-12-11 à 12:10

on voit
\[\frac{1}{{{{\left( {t\left( {1 + {t^2}} \right)} \right)}^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{{\sqrt {1 + {t^2}} }}{{\sqrt t }} - \frac{{t\sqrt t }}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} = \sqrt {\frac{{1 + {t^2}}}{t}}  - t\sqrt {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} \]

Posté par
Peire : Primitive de 1/racine(1+x^4) 25-12-11 à 19:28

Ah oui vraiment désolé :s la fonction est f(x)=1/1+t4 entre x et 2x

Posté par
DHilbertre : Primitive de 1/racine(1+x^4) 25-12-11 à 19:40

Enfin, nous savons que f(x)=\dsiplaystyle\int_x^{2x}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt.

A +

Posté par
kybjmre : Primitive de 1/racine(1+x^4) 25-12-11 à 23:24

Si u : t (1 + t4)-1/2 et si U est une primitive de u , l'application f : x U(2x) - U(x)  est impaire dérivable et pour tout x le signe de f '(x) est celui de 1/2 - t2 .

Comme u(t) 1/t² (quand t tend vers +) U(x) converge vers un réel lorsque x tend vers + et donc f(x) tend vers 0.

Posté par
Peire : Primitive de 1/racine(1+x^4) 28-12-11 à 15:27

Merci !


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