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primitive intégration par partieintégration par partie

Posté par
Youyou1999 10-01-18 à 01:02

Bonsoir , comment pourrai-je calculer cette primitive en utilisant la méthode d'intégration par partie: ln(cosx)dx
Merci d'avance

Posté par
jb2017re : primitive intégration par partieintégration par partie 10-01-18 à 01:33

Bonjour
Avant tout cela serait bien de préciser un domaine de calcul, en effet cos(x) pourrai prendre des valeurs négatives.
Ensuite un i.p.p pourquoi?

Posté par
perroquetre : primitive intégration par partieintégration par partie 10-01-18 à 12:11

Bonjour, youyou99

Il n'est pas possible d'exprimer une primitive de ln(cos(x)) en fonction des fonctions élémentaires (sin, cos, ln , polynômes ...).

Par contre, il est possible d'obtenir une expression simple de \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos x) dx, mais cela ne se fait pas habituellement avec une intégration par parties.

Il faut donc préciser ton énoncé.

Posté par
Youyou1999re : primitive intégration par partieintégration par partie 10-01-18 à 17:32

la question demande d'intégrer par partie et pour le domaine de calcul c'est 0 et sur 4

Posté par
perroquetre : primitive intégration par partieintégration par partie 10-01-18 à 17:56

En utilisant Maple, on obtient:
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos x)dx = -\frac{\pi}{4} \ln 2+\frac{C}{2}
où C est la constante de Catalan définie par:
C=\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{(2p+1)^2}

Une "simple intégration par parties" ne te permettra pas d'obtenir ce résultat.
Il n'y avait aucune question avant ?

Posté par
Youyou1999re : primitive intégration par partieintégration par partie 10-01-18 à 19:20

non aucune on nous a demandé de calculer les primitives et chacune est indépendante de l'autre

Posté par
perroquetre : primitive intégration par partieintégration par partie 10-01-18 à 20:40

Il y a donc une erreur d'énoncé.

Si ce n'est pas le cas, je serais intéressé par une correction le jour où elle sera disponible.

Posté par
boninmire : primitive intégration par partieintégration par partie 10-01-18 à 21:29

Ou alors c'est un exercice pour montrer que l'intégration par parties ne réussit pas toujours. Ici, les idées simples qu'on peut avoir conduisent à tourner en rond.

Posté par
SkyMtnre : primitive intégration par partieintégration par partie 10-01-18 à 22:13

Bonsoir. Une intégration par parties je sais pas, mais un changement de variable marche !
Notons que \cos(x-\tfrac{\pi}{2}) = \sin(x) donc en faisant le changement de variable u = x - \tfrac{\pi}{2} on a :
\int\nolimits_0^{\pi/2} \log(\cos(x))\,dx = \int\nolimits_{0}^{\pi/2} \log(\sin(x))dx
Puis on combine les deux intégrales :
2\int\nolimits_0^{\pi/2} \log(\cos(x))\,dx =\int\nolimits_0^{\pi/2} \log(\cos(x))\,dx + \int\nolimits_0^{\pi/2} \log(\sin(x))\,dx = \int\nolimits_0^{\pi/2}\log(\cos(x)\sin(x)) dx
On peut se rappeler d'une formule de trigo qui dit que \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)...
2\int\nolimits_0^{\pi/2} \log(\cos(x))\,dx = -\frac{1}{2}\pi\log(2) +\int\nolimits_0^{\pi/2}\log(\sin(2x)) dx.
Cette dernière intégrale est bien définie (je te laisse vérifier pourquoi...).
On peut écrire après changement de variable
2\int\nolimits_0^{\pi/2} \log(\cos(x))\,dx = -\frac{1}{2}\pi\log(2) + \frac{1}{2}\int\nolimits_0^{\pi}\log(\sin(x)) dx puis par symétrie du sinus en \frac{\pi}{2} on a :
2\int\nolimits_0^{\pi/2} \log(\cos(x))\,dx = -\frac{1}{2}\pi\log(2) + \int\nolimits_0^{\pi/2}\log(\sin(x)) dx = -\frac{1}{2}\pi\log(2) + \int\nolimits_0^{\pi/2}\log(\cos(x)) dx
et enfin :

\begin{split}\textcolor{blue}{\boxed{\int\nolimits_0^{\pi/2} \log(\cos(x))\,dx = -\frac{1}{2}\pi\log(2)}}\end{split}

Posté par
SkyMtnre : primitive intégration par partieintégration par partie 10-01-18 à 22:19

Oups c'est entre 0 et \pi/4 désolé

Posté par
boninmire : primitive intégration par partieintégration par partie 11-01-18 à 09:44

SkyMtn @ 10-01-2018 à 22:19

Oups c'est entre 0 et \pi/4 désolé

Du coup le raisonnement par symétrie sur le sinus ne marche pas et le calcul ne semble pas aboutir. L'erreur d'énoncé redevient une possibilité.

Posté par
jb2017re : primitive intégration par partieintégration par partie 12-01-18 à 01:03

Bonjour
On a malgré tout  
\int_0^{\pi/4} \ln(cos(x)) dx =\frac{K}{2}-\frac{1}{4}\pi\ln(2)
avec k=\sum_{n\in \N} \dfrac{(-1)^n}{(n+1)^2}\approx 0.915966

Posté par
perroquetre : primitive intégration par partieintégration par partie 12-01-18 à 03:29

@jb2017:
C'est exactement ce que j'ai écrit le 10 janvier à 17h56.  

Posté par
jb2017re : primitive intégration par partieintégration par partie 12-01-18 à 09:15

Ah  oui @ perroquet, pardon mais je ne l'avais pas vu.
Bon disons que j'apporte une valeur approchée de cette constante. Une question alors
cette constante K ou C, sait-on quelque chose sur sa nature C est un rationnel ou autre??
  

Posté par
boninmire : primitive intégration par partieintégration par partie 12-01-18 à 09:25

jb2017 @ 12-01-2018 à 09:15

sait-on quelque chose sur sa nature C est un rationnel ou autre??
  

On ne sait pas:
Vu qu'elle est reliée aux fonctions spéciales (fonction de Dirichlet, zêta de Riemann, fonction ), j'aurais tendance à conjecturer qu'elle est transcendante, mais le raisonnement est un peu court.


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