Bonjour !!

J'ai un exercice a faire qui est le suivant :

Soit f la fonction définie sur R  par

f(x)=1/(x²+1) et F l'unique primitive de f sur R qui vérifie la condition
F(0)=0.

1)démontrer que la fonction f(x)=-F(-x) est une primitive de f sur I
en déduire que F est impaire.

2)Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]o;+oo[par:
g(x)=F(-1/x)

a)démontrer que g est une primitive de la fonction f sur l'intervalle
]0;+oo[

b)en déduire que,que pour tout réel x strictement positif: F(x)=2F(1)-F(1/x)
et que la fonction F admet une limite finie L en +oo

3)On désigne par h la fonction définie sur l'intervalle ]-Pi/2;Pi/2[
par h(x)=F(tan x)

a)déterminer la fonction dérivée de h

b)en déduire que pour tout réel x, h(x)=x

c)calculer F(1)et en déduire la valeur de L.

J'ai trouvé les réponses suivantes :

la dérivée de -F(-x) c'est -(-F'(-x) ) soit  1/1+x²  cqfd
Ainsi F(x)=-F(-x)+cste
donc aussi F(0)=-F(-0)+cste et commeF(0)=0 alorscste =0
donc F(x)=-F(-x) et F impaire

F(-1/x) se dérive en -(-1/x²)F'(-1/x)
soit 1/x²*1/((-1/x)²+1) qui donne 1/x²+1   cqfd
donc F(x)=F(-1/x)+cste ou F(x)=-F(1/x)+cste car F impaire
donc aussi F(1)=-F(1/1)+cste donc cste =2F(1)     cqfd

F(tanx) se dérive en tan'xF'(tanx)
soit (1+tan²x)*1/(tan²x+1) soit qui donne 1
donc h(x) = x +cste
or h(0)=F(tan0)=F(0)=0 donc cste = 0 donc h(x)=x

h(pi/4)=F(tan(pi/4)=F(1) donc F(1)=pi/4

F(x)=2F(1)-F(1/x)
donc lim(en +inf)deF(x) = 2F(1)-F(0) ( car 1/x ten vers 0)
L=2*pi/4=pi/2

Pouvez vous m'indiquer si ces reponses sont exactes ?merci d'avance..