Ce n'est pas beaucoup plus dur de trouver une primitive sur les autres intervalles.

Il ne faut pas oublier que "la" primitive n'est définie qu'à une constante près. Il s'agit ici de bien régler ces constantes pour trouver une fonction qui se recolle bien à la jonction des intervalles.

Eumm je ne comprends pas trop là ^.^' Comment est-ce qu'on trouve ces constantes ?

Ah naan, en fait je crois que j'ai compris quand -1<x1, je trouve comme primitive (3/4)x^4/3 mais là on a juste ajouté une constante quelconque mais ça ne change rien.

Par contre pour x -1, je ne vois pas du tout d'où est-ce qu'il sort le (1/x) ?

Est-ce que tu as déjà des primitives sur chacun des intervalles (avec des constantes d'intégration) ?

Tu ne vois pas ce que je veux dire en voulant "une fonction qui se recolle bien à la jonction des intervalles" ?
Je veux dire simplement que si on a une primitive f₁ sur l'intervalle ]-1,1[ et une primitive f₂ sur l'intervalle [1,+[, on veut que f₁(1)=f₂(1) pour avoir sur la réunion des deux intervalles une fonction continue.

En fait, j'ai trouvé les primitives quand -1<x1 et quand x > 1. Mais pourquoi est-ce qu'on cherche à montrer que f est continue en 1 ?

Et... quand x -1 ,  -1x1
C'est bien ça ?

Une primitive de f, qu'est-ce que ça veut dire ? Est-ce que ce n'est pas la moindre des choses de demander qu'elle soit continue ? Sinon comment pourrait-on la dériver?

Je n'ai rien compris à ce que tu dis ensuite. Je crains que tu n'aies de gos problèmes avec les inégalités. Je reformule ma question : quand x -1, quel est le signe de x ?

Oula je viens de me relire et j'ai oublié de mettre x en valeur absolue

Et oui T__T j'ai pas mal de problèmes en maths...

Alors quand x -1, x ]-;-1] donc x est négatif.

Et une primitive doit être continue donc il faut trouver les valeurs constantes pour que F(x) soit continue. C'est bien ça ? Parce que 1/x n'est pas continue par exemple? Mais j'ai toujours eu du mal à faire le prolongement par continuité donc là je suis un peu bloquée...

Et alors? Vois-tu pourquoi le -(7/4) ? La fonction 1/x est bien continue et dérivable sur ]-, -1], donc ce n'est pas ça qui cause problème.

Ton application f est continue de dans donc " admet des primitives ; la différence de 2 d'entr'elles étant constante" .
Il suffit donc de voir si l'une de ces primitives s'écrit de façon agréable .
f étant impaire il est normal (tout au moins pour moi) de considérer G : x ₀^x f qui est paire .
Soit alors x > 0 .
..si x 1 , G(x) =  ₀^x t^1/3dt = (3/4)x^4/3 .
..si x > 1 , G(x) = ₀ ¹ f +  ₁^x f = 3/4 +  ₁^x t^-2 dt = 3/4 + (1 - 1/x = 7/4 - 1/x .
On a donc G(x) = (3/4)|x|^4/3 si |x| 1 et
               = 7/4 - 1/|x| si x > 1 .

Tu pourras vérifier que G - F est constante !

Merci pour vos réponses et désolée de répondre un peu tardivement.

Maintenant avec le calcul de kybjm je vois d'où vient le -(7/4).
Mais ce que je ne comprend pas c'est que vous avez montré que G(x) = (3/4)|x|^4/3 si 0<x1 et pas |x|1 ?
Et du coup il faut encore calculer une primitive pour -1<x<0 et x<-1 ?

G-F dépend toujours de x est-ce qu'elle est constante ?

Arf j'suis vraiment nulle en maths -_-'

Hey attendez !
En reprenant toutes vos réponses, je crois que j'ai compris :

pour x > 1, on a f(x) = 1/(x²) donc F₁(x) = -1/x

pour -1 < x < 1, on a f(x) = x^1/3 donc F₂(x) = (3/4)x^4/3 + C

pour x < -1, on a f(x) = (-1)/(x²) donc F₃(x) = 1/x

Or, une primitive doit être continue sur son ensemble définition donc il faut que la limite à gauche et à droite soit la même pour -1 (F₂(x) et F₃(x)) et 1 (F₁(x) et F₂(x)).

Pour x = 1 :
on résout par équivalence
F₁(1) = F₂(1)
et on trouve que C = -7/4

Pour x = -1 :
on fait pareil avec
F₂(-1) = F₃(-1)
et on trouve aussi C = -7/4

Est-ce que c'est bien ça ?

Oui, c'est en gros ça. On peut chipoter sur quelques points : On a choisi une primitive, -1/x, sur [1,+[. Après on ajuste la constante de la primitive (3/4)x^4/3 + C¹ sur [-1,1] pour que ça se recolle en 1. On trouve effectivement C₁=-7/4. Enfin on ajuste la constante de la primitive 1/x + C₂ sur ]-,-1] pour que ça se recolle en -1 avec (3/4)x^4/3 -7/4. On trouve C₂ = 0.

Ok d'accord !

Merci beaucoup
Et bonne fin de week end ^.^