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Primitives d’une fonction quotient

Posté par
TheoLaperi 10-04-23 à 17:37

Bonjour,
Notre professeur de mathématiques nous a demander de faire cet exercice de primitive, d'habitude ça va tout seul, mais là le dénominateur est trop complexe je n'arrive même pas à trouver les nombres réels a,b et c. Si quelqu'un pourrait m'aider ce serait gentil merci !

Déterminer toutes les primitives de f sur ]0;+infini[
f(x)=x^3+x+1 / x(x^2+1)

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 17:49

Ps: je pense devoir aussi utilisé la lettre d et que cela donnerai: a + b/x + cx+d/x^2+1
Cependant je suis bloquer à cette étape.

Posté par
carpediemre : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:01

salut

il manque trop de parenthèses pour comprendre ce que tu dis ...

ainsi par exemple quel est le numérateur de f(x) ?

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:02

Bonjour,

si on a bien \dfrac{x^3+x+1}{x(x^2+1)}, tu peux écrire

\dfrac{x^3+x+1}{x(x^2+1)}=\dfrac{x^3+x}{x^3+x}+ \dfrac{1}{x(x^2+1)}

Posté par
LeHiboure : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:03

Bonjour,

Citation :
f(x)=x^3+x+1 / x(x^2+1)

Cette notation est très anbigüe, je suppose que c'est \frac{x^3+x+1}{x(x^2+1)}
Si c'est bien le cas, il faut commencer par développer le dénominateur, le comparer au numérateur, et faire la décomposition qui s'impose.

Posté par
LeHiboure : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:04

Bonjour Pirho, je te laisse continuer

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:04

sorry!

salut carpediem

je n'avais pas vu ton post

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:05

Bonjour, oui c'est bien cette écriture, excusez moi je n'ai pas les compétences pour le résister tel quel. J'essaie de faire avec les informations que vous m'avez donner merci

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:06

*rediger

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:08

Bonjour carpediem, le numérateur est x^3 +x +1

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:15

Bonjour LeHibou

en suivant l'ordre des réponses, je laisserai carpediem continuer

Posté par
carpediemre : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:18

alors on peut le faire comme tu le proposes à 17h49 ... sans oublier les parenthèses ... et résoudre un système d'équations

on peut aussi obtenir directement cette décomposition en continuant sur la lancée de Pirho en remarquant que 1 = x^2 + 1 - x^2

(salut les autres !!)

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:24

Ok si je fait la méthode que j'ai trouvé, cela veut dire que je met tout le dénominateur sur (x^2+1) c'est bien ça ? Le problème c'est qu'en faisant cela je suis bloquer car quand je cherche A, B, C et D j'ai des résultats de la forme Ax^2 +1

Posté par
carpediemre : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:29

quand tu réduis au même dénominateur ce la doit faire celui de f !!

puis tu identifies les numérateurs

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:30

Ok je crois avoir compris.
Puisque pour A et B j'obtiens quelque chose de la forme x^2+1, je pense qu'il faut que d soit négatif.

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:31

En gros:
A=1 B=1 C=0 et D=-1
En faisant cela je ré obtient ma fonction de départ(que j'ai simplifiée)

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:38

Car (x^3)+(x)+(1) / x(x^2+1) c'est équivalent à:
(x^2)+(x)+(1) / x^2+1
Qu'en pensez vous?

Posté par
carpediemre : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:41

\dfrac {x^3 + x + 1} {x(x^2 + 1)} = 1 + \dfrac {x^2 + 1 - x^2} {x(x^2 + 1)} = 1 + \dfrac 1 x - \dfrac x {x^2 + 1}

n'aurais-tu pas permuter c et d ?

Posté par
carpediemre : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:42

n'oublie pas que l'objectif est de calculer une primitive

ta proposition est donc nécessairement fausse car tu ne connais pas (encore) de primitive de 1/(x^2 + 1)

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:48

Ce serait donc C=-1 et D=0 ?

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:52

En réalité je suis complètement perdu depuis 1h sur cet exercice… je ne sais pas comment identifier…

Posté par
carpediemre : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:52

à toi de le vérifier !!

tu as du faire une erreur de calcul ... qu'il faut donc reprendre ...

Posté par
carpediemre : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 18:54

TheoLaperi @ 10-04-2023 à 18:52

En réalité je suis complètement perdu depuis 1h sur cet exercice… je ne sais pas comment identifier…
alors réduire très proprement
TheoLaperi @ 10-04-2023 à 17:49

a + b/x + (cx + d)/(x^2+1)
et nous donner le résultat si tu veux qu'on vérifie

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:03

D'accord
Donc simplement j'ai tout mis sur x^2+1.
Ce qui fait que j'ai (ax^2+1)+ (bx+1)+(cx+d) / (x^2+1).
Donc A=1 B=1 C=0 et D=-1
Puis j'ai fait:
f(x)=(1)+(1/x)-(1/x^2+1)
Et quand je « primitive » j'obtiens
F(x)=x+ln(x)+1/2x+C

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:18

en attendant le retour de carpediem

TheoLaperi @ 10-04-2023 à 19:03

D'accord
Donc simplement j'ai tout mis sur x^2+1.


il manque un x au dénominateur c'est x(x^2+1)

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:20

J'enlève le x en bas car j'enlève aussi un x en haut puisqu'il y'a x^3 en haut ce qui faut qu'il reste x^2 en haut, ça fonctionne non?

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:24

je pense que tu n'appliques pas bien la méthode; on a

x^3+x+1=ax(x^2+1)+b(x^2+1)+x(cx+d)

et ensuite on identifie

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:33

Oui merci ça a l'air plus clair de cette manière mais ça ne change pas le résultat final car je trouve A=1 B=1 C=-1 et D=0
Donc ma fonction s'écrit (1)+(1/x)+(-1/x^2+1)
Et donc j'obtiens les meme primitives.
Cela signifie peut etre que mon résultat est bon ?

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:37

Citation :
Posté par
TheoLaperi 10-04-23 à 19:33

Oui merci ça a l'air plus clair de cette manière mais ça ne change pas le résultat final


mais ça doit être correct

concernant les primitives c'est \ln|x| et la 3e primitive est fausse

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:38

Je n'ai pas compris votre message, tout est bon sauf la 3ème ?

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:41

c'est le ln du module ; la 3e primitive est fausse

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:50

Erreur naïve de ma part, la troisième primitive est (x/x^2+x)

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:53

non pas du tout tu dois trouver une primitive de

-\dfrac{x}{x^2+1} que tu peux aussi écrire   -\dfrac{1}{2}\dfrac{2x}{x^2+1}

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 19:57

Excuser moi mais je n'y arrive pas…

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 20:04

J'ai tout refait,
Mes primitives à la fin sont x+ln(x)-ln(1+x^2/2)/2 +C
Si ce n'est pas ça alors je n'y arriverais jamais.

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 20:19

comme déjà dit   \large  \ln|x|

petite coquille dans le dernier ln, dérive un peu ton dernier ln et tu découvriras la petite erreur

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 20:21

D'accord merci beaucoup pour le temps que vous m'avez accorder aujourd'hui et bonne soirée.

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 20:22

de rien
et quelle est ta réponse ?

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 10-04-23 à 21:28

Le dernier c'est ln(1-x^2/2)/2 j'avais mis un plus.

Posté par
Pirhore : Primitives d’une fonction quotient 11-04-23 à 08:20

c'est toujours faux!

Posté par
TheoLaperire : Primitives d’une fonction quotient 11-04-23 à 12:08

Rebonjour,
J'ai dérivé petit à petit et je trouve finalement ln(x/x^2+1/2)

Posté par
carpediemre : Primitives d’une fonction quotient 11-04-23 à 17:39

c'est peut-être le moment de réviser les formules de dérivées et de primitives ... d'autant plus avec ce qu'écrit Pirho à 19h53 ...

mais il semblerait que tu ne lises pas ce qu'on écrit ...


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