Si g est une rotation de centre A et d'angle et ,
g a un unique point fixe (qui est son centre A).
Or, donc qui est un point comme image d'un point par cette isométrie.
Donc h a un unique point fixe.
Donc h est soit une symétrie centrale, soit une rotation car ce sont les seules isométries ayant un unique point fixe.
Montrons que h n'admet aucune droite invariante.
Soit D une droite invariante par f (si il y en a).
On a .
Comme g n'admet aucune droite invariante (car c'est une rotation), on a
et
Donc D n'est pas invariante par h.
Soit D une droite non invariante par f.
On a
Notons on a
on a
note : on a car f est une application tout simplement.
Donc D n'est pas invariante par h.
Quelle que soit la droite D, elle n'est pas invariante par h donc h est une rotation.

Et pour finir, si est une symétrie centrale de centre , admet un unique point fixe qui est .
Donc qui est un point puisque c'est l'image d'un point par une isométrie.
admet donc un unique point fixe.
Comme est une isométrie positive, est aussi une isométrie positive (comme composée de positive et de et toutes deux positives ou négatives).
Donc est soit une rotation soit une symétrie centrale.
Il faut réussir à trouver au moins une droite invariante par pour prouver que c'est une symétrie centrale.
Soit une droite passant par .
notons
on a qui passe par donc et
donc
donc est invariante par .
Finalement, est une symétrie centrale.

Pour répondre à la question des éléments caractéristiques, je propose la démonstration suivante :
Prenons d'abord le cas où est une translation de vecteur .
On sait que est une translation (de vecteur à déterminer).
Soit un point du plan.
On note on a donc
On note et .
montrons que autrement dit que
On a
Donc avec où .
cqfd

Si g est une symétrie centrale de centre , est une symétrie centrale.
Or,
On sait que a un unique point fixe, qui est , donc
donc , qui est un point car est une application.
admet donc comme unique point fixe , donc est son centre.

Si g est une réflexion d'axe , est une réflexion.
On sait que et que a une seule droite de points fixes (qui est ) donc , qui est une droite car est une isométrie.
admet donc une seule droite de points fixes (), et sachant que l'axe d'une symétrie est son unique droite invariante, son axe est la droite .

Si est une symétrie glissée d'axe et de vecteur ,
est une symétrie glissée, on note son axe et son vecteur .
Soit un point du plan.
Notons , on a ,   et .
Montrons que , autrement dit que .
on a
Donc avec où .

Pour l'axe :
Montrons que .
On sait que .
Donc
en composant par   à gauche ( existe car est une bijection et l'ensemble de départ de est égal à l'ensemble d'arrivée de (qui sont le plan tout entier))
en composant à droite par (car l'ensemble de départ de est égal à l'ensemble d'arrivée de ).
Donc est invariante par . Sachant qu'une symétrie glissée admet une seule droite invariante, on a .
Maintenant notons
On a (= puisque (axe de la symétrie glissée ))
d'où en composant par à gauche.

donc est invariante par .
donc
On a donc
autrement dit : .
cqfd

Et pour les rotations, je ne vois pas comment faire.
Il faudrait montrer que où est le centre de la rotation , et celui de .

Ou plutôt :
Il faudrait montrer que où est le centre de la rotation , et celui de .

Ou bien:
Il faudrait montrer que où est le centre de la rotation , et celui de .

Si est une rotation de centre , est aussi une rotation de centre (à déterminer).
Or,
On sait que a un unique point fixe, qui est , donc
donc , qui est un point car est une application.
admet donc comme unique point fixe , donc est son centre.

Pour l'angle,
je crois qu'il faut montrer que où est le centre de la rotation , et celui de , et .
Montrons que
soit . on a vu que est le centre de la rotation , donc est son centre.
Soit un point du plan. On note
on a
en composant à droite par , on obtient :
. on a le droit car l'ensemble d'arrivée de est égal à l'ensemble de départ de , et car l'ensemble de départ de est égal à l'ensemble d'arrivée de .
d'où .

J'ai une question qui reste en suspend:

J'ai omis de dire qu'une symétrie centrale est une involution.
ça pouvait peut-être aider pour distinguer une rotation d'une symétrie centrale...

personne?

Dans le plan une symétrie centrale est une rotation ( particulière ).
Il n'y a aucune raison pour distinguer ( dans le plan ) symétrie centrale et rotation.

Pourtant une rotation n'a pas de droites invariantes, alors qu'une symétrie centrale en a une infinité.

Une symétrie centrale à une infinité de droites globalement invariantes.
Mais elle n'a aucune droite invariante point par point.

Ce qui caractérise les rotations du plan c'est qu'elles ont un unique point fixe.

Un lien un peu au hasard sur la classification des isométries du plan :