Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 21-07-21 à 21:33

Si g est une symétrie glissée d'axe \Delta et de vecteur \vec{u}, g n'a aucun point fixe.
On a : f(Fixes(g))=Fixes(h).
donc Fixes(h)=f(\varnothing)=\varnothing
De plus, h est la composée d'une symétrie qui est une isométrie négative, avec l'isométrie f et f^{-1} qui sont toutes deux soit positives soit négatives, donc leur composée est une isométrie positive, donc h est une isométrie négative.
Sachant qu'une isométrie négative qui n'a aucun point fixe est une symétrie glissée, h est une symétrie glissée.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 21-07-21 à 22:39

Si g est une rotation de centre A et d'angle \theta \ne  0 et \pi,
g a un unique point fixe (qui est son centre A).
Or, Fixes(h)=f(Fixes(g)) donc Fixes(h)=f(A)=B qui est un point comme image d'un point par cette isométrie.
Donc h a un unique point fixe.
Donc h est soit une symétrie centrale, soit une rotation car ce sont les seules isométries ayant un unique point fixe.
Montrons que h n'admet aucune droite invariante.
Soit D une droite invariante par f (si il y en a).
On a f(D)=D.
Comme g n'admet aucune droite invariante (car c'est une rotation), on a g(D) \ne D
et h(D)=f \circ g \circ f^{-1}(D)=f \circ g(D)\ne f(D)(=D)
Donc D n'est pas invariante par h.
Soit D une droite non invariante par f.
On a g(D)\ne D
Notons D'=f^{-1}(D) on a f(D)=D'
on a h(D)=f \circ g\circ f^{-1}(D)=f \circ g(D')\ne f(D')(=D)
note : on a f \circ g(D')\ne f(D') car f est une application tout simplement.
Donc D n'est pas invariante par h.
Quelle que soit la droite D, elle n'est pas invariante par h donc h est une rotation.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 21-07-21 à 23:05

Et pour finir, si g est une symétrie centrale de centre A, g admet un unique point fixe qui est A.
Donc Fixes(h)=f(Fixes(g))=f(A)=B qui est un point puisque c'est l'image d'un point par une isométrie.
h admet donc un unique point fixe.
Comme g est une isométrie positive, h est aussi une isométrie positive (comme composée de g positive et de f et f^{-1} toutes deux positives ou négatives).
Donc h est soit une rotation soit une symétrie centrale.
Il faut réussir à trouver au moins une droite invariante par h pour prouver que c'est une symétrie centrale.
Soit D une droite passant par f(A).
notons D'=f^{-1}(D)
on a D' qui passe par A donc g(D')=D' et f(D')=D
donc h(D)=f\circ g \circ f^{-1}(D)=f\circ g(D')=f(D')=D
donc D est invariante par h.
Finalement, h est une symétrie centrale.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 22-07-21 à 10:24

Pour répondre à la question des éléments caractéristiques, je propose la démonstration suivante :
Prenons d'abord le cas où g est une translation de vecteur \vec{u}.
On sait que h est une translation (de vecteur \vec{v} à déterminer).
Soit A un point du plan.
On note B=g(A) on a donc \vec{AB}= \vec{u}
On note A'=f(A) et B'=f(B).
montrons que \vec{v}=\vec{A'B'} autrement dit que h(A')=B'
On a h(A')=f\circ g \circ f^{-1}(A')=f \circ g(A)=f(B)=B'
Donc \vec{v}=\vec{A'B'} avec \vec{A'B'}=\vec{f(A)f(B)}\vec{AB}=\vec{u}.
cqfd

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 22-07-21 à 10:40

Si g est une symétrie centrale de centre A, h est une symétrie centrale.
Or, Fixes(h)=f(Fixes(g))
On sait que g a un unique point fixe, qui est A, donc Fixes(g)=A
donc Fixes(h)=f(A), qui est un point car f est une application.
h admet donc comme unique point fixe f(A), donc f(A) est son centre.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 22-07-21 à 10:46

Si g est une réflexion d'axe D, h est une réflexion.
On sait que Fixes(h)=f(Fixes(g)) et que g a une seule droite de points fixes (qui est D) donc Fixes(h)=f(D), qui est une droite car g est une isométrie.
h admet donc une seule droite de points fixes (f(D)), et sachant que l'axe d'une symétrie est son unique droite invariante, son axe est la droite f(D).

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 22-07-21 à 20:56

Si g est une symétrie glissée d'axe D et de vecteur \vec{u},
h est une symétrie glissée, on note son axe D' et son vecteur \vec{v}.
Soit A un point du plan.
Notons B=g(A), on a \vec{AB}=\vec{u} ,  A'=f(A) et B'=f(B).
Montrons que \vec{A'B'}=\vec{v}, autrement dit que h(A')=B'.
on a h(A')=f\circ g\circ f^{-1}(A')=f\circ g(A)=f(B)=B'
Donc \vec{v}=\vec{A'B'} avec \vec{A'B'}=\vec{f(A)f(B)}\vec{AB}=\vec{u}.

Pour l'axe :
Montrons que f(D)=D'.
On sait que h(D')=D'.
Donc f\circ g\circ f^{-1}(D')=D'
g\circ f^{-1}(D')=f^{-1}(D') en composant par f^{-1}  à gauche (f^{-1} existe car f est une bijection et l'ensemble de départ de f^{-1} est égal à l'ensemble d'arrivée de f (qui sont le plan tout entier))
g(D')=D' en composant à droite par f (car l'ensemble de départ de f^{-1} est égal à l'ensemble d'arrivée de f).
Donc D' est invariante par g. Sachant qu'une symétrie glissée admet une seule droite invariante, on a D'=D.
Maintenant notons D''=f^{-1}(D)
On a h(D)=f\circ g\circ f^{-1}(D)=f\circ g(D'')(=D puisque D=D'(axe de la symétrie glissée h))
d'où g(D'')=f^{-1}(D) en composant par f^{-1} à gauche.
g(D'')=D''
donc D'' est invariante par g.
donc D''=D=D'
On a donc f^{-1}(D)=D''=D
autrement dit : f(D)=D=D'.
cqfd

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 22-07-21 à 21:26

Et pour les rotations, je ne vois pas comment faire.
Il faudrait montrer que (\vec{Of(M)};\vec{Of(M'})=(\vec{AM};\vec{AM'})O est le centre de la rotation g, et A celui de h.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 23-07-21 à 09:00

Ou plutôt :
Il faudrait montrer que (\vec{f(O)f(M)};\vec{f(O)f(M'})=(\vec{AM};\vec{AM'})O est le centre de la rotation g, et A celui de h.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 23-07-21 à 09:19

Ou bien:
Il faudrait montrer que (\vec{fO)f(M)};\vec{f(O)f(M'})=(\vec{Ah(M)};\vec{Ah(M')})O est le centre de la rotation g, et A celui de h.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 24-07-21 à 11:31

Si g est une rotation de centre O, h est aussi une rotation de centre A (à déterminer).
Or, Fixes(h)=f(Fixes(g))
On sait que g a un unique point fixe, qui est O, donc Fixes(g)=O
donc Fixes(h)=f(O), qui est un point car f est une application.
h admet donc comme unique point fixe f(O), donc f(O) est son centre.

Pour l'angle,
je crois qu'il faut montrer que (\vec{f(O)f(M)};\vec{f(O)f(M'})=(\vec{AM};\vec{AM'})O est le centre de la rotation g, et A celui de h, et M'=g(M).
Montrons que M'=h(M)
soit A=f(O). on a vu que f(O) est le centre de la rotation h, donc A est son centre.
Soit M un point du plan. On note M'=g(M)
on a f\circ g(M)=f(M')
en composant à droite par f^{-1}, on obtient :
f\circ g\circ f^{-1}(M)=M'. on a le droit car l'ensemble d'arrivée de f^{-1} est égal à l'ensemble de départ de f, et car l'ensemble de départ de g est égal à l'ensemble d'arrivée de f^{-1}.
d'où h(M)=M'.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 24-07-21 à 14:54

J'ai une question qui reste en suspend:

Citation :
Ce résultat doit être démontré dans chaque cas. Comme on connaît le type du conjugué, la démonstration s'avère plus facile.

Est-ce qu'il faudrait faire la démo en discutant suivant le type de h au lieu de celui de g?

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 24-07-21 à 15:14

J'ai omis de dire qu'une symétrie centrale est une involution.
ça pouvait peut-être aider pour distinguer une rotation d'une symétrie centrale...

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 24-07-21 à 17:24

personne?

Posté par
verdurin
re : principe de conjugaison 26-07-21 à 19:59

Dans le plan une symétrie centrale est une rotation ( particulière ).
Il n'y a aucune raison pour distinguer ( dans le plan ) symétrie centrale et rotation.

Posté par
sgu35
re : principe de conjugaison 27-07-21 à 12:15

Pourtant une rotation n'a pas de droites invariantes, alors qu'une symétrie centrale en a une infinité.

Posté par
verdurin
re : principe de conjugaison 28-07-21 à 18:22

Une symétrie centrale à une infinité de droites globalement invariantes.
Mais elle n'a aucune droite invariante point par point.

Ce qui caractérise les rotations du plan c'est qu'elles ont un unique point fixe.

Un lien un peu au hasard sur la classification des isométries du plan :

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !