salut

un raisonnement par l'absurde me semblerait plus judicieux ...

supposons que

enfin qu'est-ce que tu entends par démonstration par induction ?

Tu vas te faire tirer les oreilles pour ne pas avoir dit bonjour. C'est l'usage ici.
Alors,

Bonjour !

Je me demande si tu as bien compris la consigne. Il s'agit de démontrer qu'il existe un parallélogramme (éventuellement aplati) à sommets entiers (dont les composantes sont des entiers naturels) tel que ces quatre sommets aient même couleur.

On te suggère d'employer le principe des tiroirs. On te dit aussi sans doute que parmi trois points entiers il y en a forcément deux de même couleur, ce qui est une évidence.

La façon dont je prendrai les choses, c'est de considérer comme tiroirs les triplets de couleurs de trois points. Il y a combien de possibilités pour ces triplets ?
Et maintenant il faudrait avoir des chaussettes, plus que de tiroirs, de façon à ce qu'il existe un tiroir qui contienne au moins deux chaussettes. Tout ça en ne perdant pas de vue la consigne ...

Excusez d'avoir oublié de dire bonjour.

carpediem Je pourrais tenter cela par l'absurde en effet... Sinon ce que je voulais dire par induction c'était peut-être par récurrence ?

GBZM Oui je vois ce que vous voulez dire par parallélogramme à sommets entiers tel que ces quatre sommets aient même couleur. On a aussi vu l'exemple avec les chaussettes en cours. Quant à la possibilité de triplets j'imagine qu'elle est égale à 2³=8 ? Mais je ne vois pas en quoi cela peut m'aider pour la démonstration ni comment la rédiger rigoureusement.

Mais déjà merci pour vos réponses.

carpediem & GBZM, pensez-vous qu'utiliser les parties entières inférieures & supérieures de a, x ou y servirait à quelque chose dans la démonstration ?

Je ne vois absolument pas quelle est ton idée. À mon avis, ça ne mène nulle part.

Tu n'as pas l'air d'embrayer sur l'idée que je t'ai soufflée. Alors je vais donner plus d'indices.
Je t'ai parlé des tiroirs  : les huit triplets de couleurs possibles pour 3 points.
Maintenant une chaussette : le triplet de points points ((0,0), (1,0), (2,0)). Cette chaussette-ci, on la range dans le tiroir correspondant aux trois couleurs : si les couleurs sont dans l'ordre, bleu-rouge-bleu, on range dans le tiroir BRB.
D'autres chaussettes ?

Donc les 8 tiroirs possibles sont : RRR, RRB, RBR, RBB, BRR, BRB, BBR, BBB.
Cela prouve donc que qu'importe le tiroir il y a forcément une paire de même couleur.
Cela suffit-il ?

Tu n'as rien démontré de ce qui est demandé.
Je répète ma question : d'autres chaussettes ? Une seule chaussette pour 8 tiroirs, c'est un peu léger pour appliquer le principe des tiroirs !

Et bien si une chaussette correspond à un triplet de coordonnées comme ((0,0),(1,0),(2,0)), n'a-t-il pas une infinité de chaussettes ?

C'est vrai que tu as le choix.
Mais je voudrais que tu réfléchisse à comment tirer parti du fait qu'on a deux chaussettes dans le même tiroir pour résoudre le problème.
Allez encore une indication supplémentaire : on va pouvoir trouver un rectangle à côtés parallèles aux axes et à sommets entiers tel que les quatre sommets aient même couleur.
Ceci éclairera la façon dont il faut choisir les chaussettes, et on n'a pas besoin d'une infinité. Neuf suffiront pour appliquer les principe des tiroirs à huit tiroirs.

GBZM Excusez-moi mais je ne vois vraiment pas, pourriez-vous tout simplement m'expliquez ce qu'il faut faire ?

Suppose que les triplets ((0,3),(1,3),(2,3)) et ((0,7), (1,7),(2,7)) sont dans le même tiroir BRB.
Vois-tu un rectangle à sommets entiers tous les quatre de la même couleur ?

Oui en effet. Et donc qu'importe le tiroir (RRR, RRB, RBR, RBB, BRR, BRB, BBR, BBB), en prenant 2 triplets, il y a toujours un rectangle/parallélogramme (si les 2 triplets ne sont ni sur le même abscisse ni le même ordonné) qui peut être formé à partir de 2 points de chaque triplet, c'est ça ?

Bon, je crois que tu commences à voir l'idée.
Maintenant, il faut formaliser et donner précisément 9 "chaussettes" (9 triplets de points) qui suffiront à fournir un rectangle à sommets entiers tous les quatre de la même couleur.

Ok, alors j'ai 2 questions :
-faut-il que ce soit forcément des rectangles ? Ou les triplets peuvent aussi former des parallélogrammes ?
-Est-ce que pour simplifier les choses je peux faire des triplets sur les 3 mêmes abscisses comme avec l'exemple que vous m'avez donné ? i.e.  ((0,1),(1,1),(2,1)) ; ((0,2),(1,2),(2,2)) ; ((0,3),(1,3),(2,3)) ; ((0,4),(1,4),(2,4)) ; ((0,5),(1,5),(2,5)) ; ((0,6),(1,6),(2,6)) ; ((0,7),(1,7),(2,7)) ; ((0,8),(1,8),(2,8)) ; ((0,9),(1,9),(2,9)) qui sont les 9 triplets que je dois utiliser ?

Tu peux effectivement choisir ces neuf triplets (tu peux commencer à 0 pour l'ordonnée), et ainsi tu démontres qu'il existe un rectangle à sommets entiers de même couleur dans la zone [0,2]x[0,8] du plan.
Il faut tout de même faire attention à choisir des triplets tels que deux quelconques d'entre eux dans le même "tiroir à couleurs" donnent automatiquement un parallélogramme à sommets entiers de même couleur. On peut se limiter à la zone [0,2]x[0,4] du plan. Tu vois comment ?

Est-ce que cela correspond ? Est-ce qu'il faut que les 2 triplets de même tiroirs (ici BBB) soit dans la zone [0,2]x[0,4]  ?

Les 5 triplets horizontaux que tu as entourés ne sont pas dans le même tiroir ...
On voit qu'on peut trouver des rectangles, mais  avec cette configuration, plus de rectangle. Il faudrait un argument qui prouve qu'on trouve tout de même un bon parallélogramme.