Bonsoir,

Donc par le principe du module maximum, est constante sur , i.e. il existe bien tel que pour tout et où est tel que , comme attendu.

Salut,

"C'est donc un maximum local" n'est pas nécéssaire. Tu dis qu'elle atteint son maximum sur le disque unité donc h(z)=f(z)/g(z) est constante sur D(0,1). Donc elle est constante sur .

Pardon je me suis trompé...

Tu as raison il faut bien souligner que c'est un maximum LOCAL car le disque unité fermé est inclus dans l'ouvert .

Par contre ce qu'il faut préciser aussi, c'est de prendre un ouvert juste un tout petit peu plus grand que le disque unité fermé, par exemple D(0,r) avec r=1+, >0 petit et de dire qu'en faisant tendre vers 0 h atteint son maximum.

Et ceci tu peux le faire car est ouvert donc il contient une boule ouverte, en particulier le disque ouvert D(0,r).

Parce que ce qu'il faut prouver c'est que ta fonction atteint effectivement son maximum sur un ouvet MAIS tu ne sais pas si |h(z)|=1 est un maximum local sur , (enfin si tu le sais, mais il faut préciser justement ceci) car je te rappel qu'une fonction holomorphe qui atteint son maximum sur un compact n'entraine en rien le fait qu'elle soit constante, juste que son maximum est sur le bord.

Donc si tu dis que h atteint son maximum sur LE DISQUE FERME, ben c'est cool, mais tu ne prouves pas qu'elle est constante si tu ne rajoute pas un argument, comme par exemple celui que je viens de te donner.

Bonjour jokass,

Je ne vois pas où tu veux en venir. est holomorphe sur et y est donc continue, ce qui fait de une fonction continue sur comme composée de fonctions continues. Ok ? Le disque unité fermé , inclus dans , est clairement un compact de sur lequel y est visiblement continue ; donc y atteint ses bornes. Autrement dit,



ce qui fait de un maximum local de sur . Le théorème du module maximum nous permet de conclure en vertu de la connexité de .

Je ne vois pas ce qu'il y a à ajouter.

Salut ThierryPoma,

le problème c'est qu'une fonction holomorphe qui atteint ses bornes sur un compact n'est pas nécessairement constante. C'est juste la compacité qui force le fait que le sup soit atteint.
Par exemple f(z)=z n'est clairement pas constante pourtant sur le disque unité fermé elle a un maximum local.
Mais son image sur le disque ouvert et ouverte.

Le théorème du module maximum fonctionne uniquement pour un ouvert, et pour cela tu dois donc trouver un OUVERT pour lequel il y a effectivement un maximum, pas un compact.
Repense à la démonstration du lemme de Schwarz, on ne se place pas sur un disque fermé D(0,r) mais sur un disque OUVERT D(0,r) et ensuite on fait tendre r vers 1 et en passant à la limite l'inégalité stricte devient comme par magie une inégalité large qui permet de conclure.
En d'autre terme ici, tu prouve que h(z)=f(z)/g(z) à un maximum sur D(0,1) fermé (mais ça on le savait déjà!) mais pas sur et encore moins sur D(0,1) ouvert.

Donc tu ne peux pas en déduire que h est constante!

Avec mon raisonement (mais on peut le faire differement bien sur) je prouve que h est maximum sur un ouvert, en m'inspirant comme tu as pu le voir, de la preuve du lemme de Schwarz.

Merci pour vos réponses.

On peut simplement utiliser un corollaire du principe du maximum qui stipule que le sup est atteint sur le bord. Le sup de |f/g| sur le disque unité ouvert est donc inférieur à 1, idem pour le sup de |g/f|. f/g est donc de module constant sur le disque unité. Il admet donc un maximum local (en 0 par exemple) et là on applique le principe du maximum :
f/g est constante.
CQFD

Je ne comprends pas très bien pourquoi si sup|f/g|<1 et sup|g/f|<1 alors |f/g| est constant.
Tu utilise quoi?

Et aussi tu n'as pas utilisé l'hypothèse que |f|=|g| pour |z|=1....

L'idée est de travailler sur un OUVERT et de se ramener ensuite sur le disque unité fermé.

Essaye de retrouver la démonstration du lemme de Schwarz, je suis sûr qu'elle t'aidera.

Et le corollaire du principe du maximum dit effectivement que le maximum d'une fonction holomorphe se trouve sur le bord si elle est définit sur un compact, ce qui ne t'aide pas a prouver qu'elle est constante...
Oublie le principe du maximum sur un compact, il ne va rien t'apporter sinon quelque chose que tu sais déjà.