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Prisme droit à base triangulaire
Bonsoir,
Je suis bloqué avec plusieurs personnes de ma classe sur un exercice de DM :
Soit ABCDEF un prisme droit à base triangulaire ABC
On désigne :
par G le symétrique de B par rapport à A,
par I le point d'intersection de (GH) et (AC),
par J le symétrique de D par rapport à E,
et par K le milieu de [EF]
Démontrer que les droites (BI) et (JK) sont parallèles.
Ci-joint la figure qui est donnée avec la consigne.
D'après les cours, il faudrai prouver que le vecteur IB = kKJ
Nous avons donc mis la figure "à plat", sur geogebra, j'ai fait une photo d'écran que j'ai jointe.
On ne voit pas comment faire...
Si vous pourriez nous donner des pistes, ça nous aiderai bien.
Merci d'avance 
Je suppose que H est le milieu de BC !
Je choisi un point pour origine et deux vecteurs (3 en 3 dimensions)
Je ramène tout en B et je décompose tout en BA et BC
JK = JE + EK JE=ED=BA et EK =1/2 EF= 1/2 BC
JK=BA+1/2BC
BI = BA + AI
On remarque que I est l'intersection des médianes de BGC donc I est le centre de gravité de BGC.
Alors AI = 1/3 AC = 1/3(AB+BC) = -1/3BA + 1/3BC
BI = BA -1/3BA + 1/3BC = 2/3BA + 1/3BC = 2/3( BA + 1/2BC) = 2/3 JK
BI = 2/3 JK
Version longue
JK = JE + EK JE=ED=BA et EK =1/2 EF= 1/2 BC
JK=BA+1/2BC
Si on ne remarque pas que I est l'intersection des médianes de BGC :
BI = BH + HI BH=1/2BC H I C sur une droite donc HI=xHG HG= HB+BG= -1/2BC +2BA
BI = 1/2BC -x/2BC +2xBA = (1-x)/2BC + 2xBA = 2xBA + (1-x)/2BC
D'autre part:
BI = BA + AI A I C sur une droite donc AI=yAC donc BI= BA+yAC = BA + y(AB+BC)
BI= BA+yAC = BA + y(AB+BC) = BA -yBA + yBC = (1-y)BA + yBC
BI = 2xBA + (1-x)/2BC et BI= (1-y)BA + yBC
donc (décomposition unique) :
2x = 1-y
(1-x)/2 = y
4x = 2 -2y
1-x = 2y
3x = 1 x=1/3 y=1/3
donc BI = 2/3 BA + 1/3 BC = 2/3( BA + 1/2BC)
JK=BA+1/2BC
BI = 2/3 JK
Et voilà
Avec Thalès
AC et GH sont les médianes de GBC. Donc I est le centre de gravité. Donc
GH/GI=3/2
GA=AB=BJ' donc GJ'/GB=3/2
(GA) et (GB) sont sécantes en G
G I H et G B J' sont dans le même ordre
GH/GI=GJ'/GB
Donc, d'après la réciproque de Thalès (BI) et (HJ') sont parallèles.
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