Bonjour Vassillia,

on peut prendre la sphère unité que l'on veut ? je plaisante bien entendu, problème très intéressant, je m'y plonge dès que j'ai un peu le temps !

Bonne journée

Juste une confirmation de l'énoncé :
bla bla bla dont toutes les arêtes sont tangentes à une sphère unité.

On parle bien des arêtes, pas des faces ?

Dans les 2 cas, challenge intéressant !

Salut,
je tente une réponse :

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La somme minimum est .
Elle est obtenue pour un prisme à base triangulaire dont toutes les arêtes sont égales.

Je trouve comme Verdurin.

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Avec une base triangulaire, on arrive à
Avec une base carrée j'arrive à un peu plus ,
Je n'ai pas essayé un pentagone.
Avec une base hexagonale, j'arrive à
On a le sentiment que ça s'envole si on augmente le nombre de côtés.

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En fait, sur ces 3 figures, les faces latérales sont des carrés. Forcément pourrait-on dire.
Et si on prend comme prisme, une base avec côtés, et donc des carrés sur chaque face, si _naugmente, on voit qu'on arrive à une limite qui est

Salut ty59847.
Pour la limite avec des prismes réguliers

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je trouve
Dans le cas de prismes réguliers toutes les arêtes sont égales à .
On a arêtes et la somme des longueurs des arêtes est donc qui tend vers quand n tend vers l'infini.
Je suppose que tu fis une faute de frappe.

D'où vient ma réponse.

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Quand on prend un polygone inscrit dans un cercle on a un périmètre maximal quand le polygone est régulier.
Il semble donc que prendre un polygone régulier comme base est un mauvais choix.
Mais quand on prend un polygone irrégulier comme base on a un prisme oblique et la somme des longueur des arêtes latérales me semble augmenter plus vite que ne diminue le périmètre du polygone de base.
Ça je ne l'ai pas démontré.
Après il suffit de regarder la fonction pour

Tu as raison, mais ce n'est pas une faute de frappe, c'est une vraie faute.

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Je trouvais $4\pi$ pour les 2 polygones qui servent de bases. Et comme on a des carrés, je comptais autant pour les arêtes verticales. J'oubliais juste que chaque arête sert pour 2 côtés consécutifs.

Bravo verdurin et ty59847, vous êtes redoutablement efficaces

Bonjour,
Je me lève et je donne mon avis..

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Parlons de prismes réguliers
Le premier qui vient à l'idée c'est celui de base triangle équilatéral
Soit une sphère de rayon 1 ,on voit que la somme S des arêtes est
2(n+p)  avec p= 33 soit  environ 26.785
On observe ensuite le cube  --->S=24
A  ce stade on peut imaginer qu'en augmentant le nombre de cotés de la base on réduira.
Or on sait que le plus petit périmètre sera  le cercle-->p=2  6.28
arrondissons à 6.5  ce qui donnerait S=23 si on avait la chance
qu'un pentagone convienne...hélas pour un pentagone régulier
p=5x1.453 =7.265  ---->S=26.53
Je dirai donc que le cube est le prisme dont la somme des arêtes
est minimum pour inscrire une sphère.

En regardant les blanks ,je vois que j'ai traité l'exercice avec
toutes les arêtes des prismes. Cela peut servir.

Voici ce que j'ai traité ... de même pour cube et penta
qu'ai-je manqué ?

La contrainte est : les arêtes doivent être tangentes à la sphère.
Et non : les faces doivent être tangentes à la sphère.

Merci ty59847
J'aimerai bien voir une figure

Une image

Merci à vous deux

Si on prend un cube avec les arêtes tangentes à la sphère,
pour une sphère de rayon 1, chaque arête du cube a une longueur de
Avec l'autre convention, on a des arêtes de longueur 2.