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Posté par elaure (invité) 13-02-06 à 15:58

Bonjour, je suis bloquée sur ce petit exo dès le départ je vois pas comment faire pouvez vous m'aider?


2. Soit p un réel  vérifiant 0<p<1 et q le réel 1-p. On suppose que X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (oméga,A,P), indépendantes et suivant la même loi géométrique de paramètre p.
Pour tout w de oméga, on désigne par M(w) la matrice carrée d'ordre 2 suivante : (X(w) Y(w)/Y(w) X(w))  et on note S(w) (respectivement D(w)) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de M(w) et on définit ainsi deux variables aléatoires sur (oméga,A,P).
a. Montrer que la probabilité de l'événement [X=Y] est donnée par : P([X=Y])= p/(2-p)  et en déduire la probabilité de l'événement {w appartenant à oméga ; M(w) est inversible}.
b. Calculer la covariance des variables S et D.
c. Calculer les probabilités P([S=2]inter  [D=0]), P([S=2]) et P([D=0]). Les variables S et D sont-elles indépendantes ?
d. Etablir, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : P([S=n])=(n-1)p²q^(n-2).
e. En déduire, lorsque p est égal à2/21 , que la valeur la plus probable de la plus grande valeur propre des matrices M(w) possibles est 11.

merci beaucoup

Posté par
stokastikre : Proba 13-02-06 à 17:01


ahah elaure comme on se retrouve... C'est as toi que j'avais aidée pour un exo de probas avec des disquettes infectées ?

Posté par elaure (invité)re : Proba 13-02-06 à 20:27

oui et ca fait longtemps que j'ai pas sollicité votre aide mais la je suis bloquée.

Posté par
stokastikre : Proba 13-02-06 à 20:43

Et ça avait marché le devoir des disquettes infectées ?


2.a.) Les valeurs possibles de X et de Y sont 1, 2, 3, ... (car loi géométrique)

P(X=Y)=\sum_{i=1}^{\infty}P(X=i\cap Y=i)

Comme X et Y sont indépendantes, P(X=i\cap Y=i)=P(X=i)P(Y=i)

loi géométrique : P(X=i)=P(Y=i)=pq^{i-1}

On obtient :
P(X=Y)=p^2\sum_{i=1}^{\infty}(q^2)^{i-1}=p^2\frac{1}{1-q^2} et on vérifie que p^2\frac{1}{1-q^2}=\frac{p}{2-p}

Posté par
stokastikre : Proba 13-02-06 à 20:46


2a) suite :

Le déterminant de M est X^2-Y^2, il est égal à zéro si et seulement si X=Y. Donc P(M\text{ inversible})=P(X\neq Y)=1-P(X=Y)=1-\frac{p}{2-p}

Posté par
stokastikre : Proba 13-02-06 à 20:52

... pour les valeurs propres, il me manque des souvenirs d'algèbre linéaire...

Posté par
stokastikre : Proba 13-02-06 à 20:56


... quelqu'un peut me dire si ce que je dis est vrai ? :

- puisque M est symétrique, elle est diagonalisable, donc admet deux valeurs propres ou une valeur propre "double" ?
- la produit des valeurs propres d'une matrice diagonalisable est égal au déterminant de la matrice ?
- la somme des valeurs propres d'une matrice diagonalisable est égal à la trace de la matrice ?

Posté par
stokastikre : Proba 14-02-06 à 14:47


Hep! Quelqu'un peut répondre à mes questions ci-dessus ? que je puisse continuer à aider elaure

Posté par elaure (invité)re : Proba 14-02-06 à 15:30

pour 1 et 3 oui c'est bon par contre pour la propriété 2 je ne sais pas
merci bcp pour les disquettes infectées y avait un bug que j'avais pas vu du coup ca allait pas mais c'est pas grave j'ai compris l'erreur

Posté par
stokastikre : Proba 14-02-06 à 16:08


Pour les disquettes, un bug de ma part ??

Pour la propriété 2, je suis sûr que c'est vrai en fait. Donc je vais te filer un coup de main pour la suite...

Posté par
stokastikre : Proba 14-02-06 à 16:23


Bon... donc M est diagonalisable et d'après la propriété 3) on a S+D=X+Y, et d'après la 1) on a SD=X²-Y².

Avec ça faudeait se débrouiller pour trouver  cov(S,D)=E[SD]-E[S]E[D].

On a E[SD]=E[X²-Y²], ça théoriquement on peut le calculer. Après pour E[S] et E[D] je n'ai pas d'idée pour l'instant.

Posté par
stokastikre : Proba 14-02-06 à 16:31

... ou alors écrire le polynôme caractéristique de M et écrire S et D comme étant ses racines...

Ca t'inspire ?

Stokastik qui retourne à son ménage.

Posté par elaure (invité)re : Proba 14-02-06 à 21:01

merci bcp encore de m'aider, mais franchement j'ai beau chercher je vois pas comment faire

Posté par
stokastikre : Proba 14-02-06 à 21:35

E[X²-Y²]=E[X²]-E[Y²]

Dans ton cours, tu n'as pas E[X²] pour une v.a. X suivant une loi géométrique ?...

Mais mince, je remarque un truc : X et Y ont même loi, donc E[X²]=E[Y²], donc ça donnerait E[SD]=0 ?.. ben oui... ça perturbe un peu mes souvenirs d'algèbre linéaire...

C'est urgent ton truc ? je n'ai pas beaucoup de temps en ce moment...

Posté par
stokastikre : Proba 14-02-06 à 21:39


... mince la trace de M est 2X et pas X+Y... surveille-moi un peu aussi...

Posté par
stokastikre : Proba 14-02-06 à 21:48

... bon allons-y avec le polynôme caractéristique.

Le polynôme caractéristique d'une matrice M de taille 2*2 est le polynôme

P(t)=t²-Tr(M)t+det(M)

Ici Tr(M)=2X et detM==X²-Y².

Les valeurs propres de M sont les racines de ce polynôme. Tu le résouds avec la méthode classique du discriminant et tu obtiens S=X+Y et D=X-Y.

Remarque : on retrouve bien SD=X²-Y² et S+D=2X.

Ok ?

Posté par
stokastikre : Proba 14-02-06 à 21:53


Bon et maintenant montre-moi ta bonne volonté : sachant que S=X+Y et D=X-Y, est-ce que tu sais faire l'exo ?

Posté par elaure (invité)re : Proba 15-02-06 à 10:31

oui je dois pouvoir y arriver en me creusant un peu la tête, par contre une piste pour c,d,e me serait bien utile.
Merci

Posté par
stokastikre : Proba 15-02-06 à 11:18


Ben... je parlais de tout l'exo...

Pour c) tu remplaces S par X+Y et D par X-Y.

Le d) à vue de nez je tenterais une récurrence.

Pour e) tu utilises d).

Posté par elaure (invité)re : Proba 17-02-06 à 15:01

maintenant que j'ai un peu plus de temps je me suis repolngée dans l'exo et y a des trucs que je comprends pas , comment sais tu que  P(t)=t²-Tr(M)t+det(M)
si c'est la seule méthode peux tu me l'expliquer sinon après je suis ok pour la b.
ensuite pour la c bien que je remplace S par X+Y comment je calcule P(X=2-Y)?
ensuite pour la d j'arrive pas à faire la récurrence et pour la e je suis completement bloquée
encore merci bcp

Posté par
stokastikre : Proba 17-02-06 à 15:49


T'as pas P(t)=t²-Tr(M)t+det(M) dans ton cours ? Sinon tu repars de la définition : P(t)=det(M-tI) et tu le retrouves.

Pour la c), puisque X et Y prennent comme valeurs possibles 1,2,3,..., on a
X+Y=2 <=> X=1 et Y=1

La suite + tard, faut que je dorme là...

Posté par
stokastikre : Proba 17-02-06 à 20:13

pas de récurrence pour la d) :

P[S=n]=P[X=1 et Y=n-1]+P[X=2 et Y=n-2]+....P[X=n-1 et Y=1]

on remarque que chacun des termes de cette somme est égal à p²q^(n-2)

Posté par elaure (invité)re : Proba 17-02-06 à 21:11

ok mais pour la c l'intersection de  X=1 et Y=1 ca donne quoi?
après pour la dernière c'est plus dur!
encore merci

Posté par
stokastikre : Proba 17-02-06 à 22:50


Ben alors ?..

X et Y sont indépendantes, donc P(X=1 et Y=1)=P(X=1)P(Y=1)

Posté par elaure (invité)re : Proba 18-02-06 à 11:27

oui qu'elle idiote, mais est ce que je peux faire P(X=1)*P(Y=1)*P(X=Y)=P((S=2)inter(D=0))

Posté par elaure (invité)re : Proba 18-02-06 à 11:27

dans ce cas la ca serait deux variables indépendantes

Posté par elaure (invité)re : Proba 18-02-06 à 11:32

ok j'ai tout compris merci beaucoup il me reste juste la dernière question qui n'est pas facile du tout

Posté par
stokastikre : Proba 18-02-06 à 13:48

est ce que je peux faire P(X=1)*P(Y=1)*P(X=Y)=P((S=2)inter(D=0))

Quoi ????

Posté par
stokastikre : Proba 18-02-06 à 13:50


Pour la dernière, la méthode brutale serait d'étudier la fonction
x->(x-1)p²q^(x-2) et de voir que son maximum est entre 10 et 12. Mais il y a peut-être plus malin.


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