Bonjour,

La probabilité de tirer la boule k est bien de 1/N
De tier une de celles numérotées de 1 à k est bien de k/N
En répétant n fois....

salut

j'ai un avis un peu different parce que si on cherche la proba que le numero de la boule tirée qui est k et que ce soit le plus grand on va se placer entre les boules numerotées de 1 à k compris mais lorsque qu'on ecrit kⁿ  en cas favorable pour obtenir P(X=k), rien ne permet de dire que la boule numero k qui est la plus grande,  soit sortie
parce que kⁿ  veut dire k choix pour la premiere boule , k choix pour la seconde ,ect.. jusqu'a k choix pour la n ieme

salut

si est la variable aléatoire égale au numéro obtenu au i-ième tirage et

alors

car les variables sont indépendantes puisque les tirages le sont (tirage avec remise)

reBonjour,

On peut raisonner "globalement" : Avec remise,
il y a Nⁿ configurations possibles dans la succession de n tirages sur N objets,
il y a kⁿ configurations possibles dans la succession de n tirages sur k objets.
le rapport de ces deux valeurs donne le résultat, que k numéro maximal tiré soit ajusté au fur et à mesure des tirages ou vu "in fine" car cette alternative n'a aucune influence sur les tirages successifs.

pour ma part j'ai repondu un peut trop vite ,.. daccord avec kⁿ possibilités

la boule k (la plus grande) apparait une fois --> 1*(k-1)^n-1.C(n,1) facon
la boule k (la plus grande) apparait2 fois --> 1*1*(k-1)^n-2.C(n,2) facons
la boule k (la plus grande) apparait 3 fois --> 1*(k-1)^n-3.C(n,3) facons
....jusqu' a
la boule k (la plus grande) apparait n fois --> 1 facon

soit un nombre de cas favorables qui vaut (k-1)^n-j.C(n,j)=
(k-1)ⁿ(1/(k-1))^j.C(n,j)= (k/(k-1))ⁿ*(k-1)ⁿ = kⁿ      avec j compris entre 1 et n

Bonsoir

en une seule phrase : dire que le plus grand des numéros obtenus est inférieur ou égal à k, c'est pareil que dire que TOUS les numéros obtenus étaient inférieurs ou égaux à k, puisqu'ils sont tous inférieurs ou égaux au plus grand d'entre eux....

Bonjour,

Pour encore confirmer on peut évaluer P(X=k)
on prend toutes les configurations sur n-1 tirages des objets numérotés de 1 à k,
dont on compte celles qui ne comprennent pas l'objet k en nombre de (k-1)^n-1.
on leur ajoute l'objet k.
celles qui comportent l'objet k on leur ajoute un des k objets
on écrit donc : P(X=k) = (k^n-1 - (k-1)^n-1)k + (k-1)^n-1
donc P(X=k) = k^n-1k - (k-1)^n-1(k-1) = kⁿ - (k-1)ⁿ

il est alors évident que

une probabilité dans laquelle il manque le facteur 1/N^n ...

PS : je ne comprends pas trop ton propos ...

Bonjour carpediem,

Oui, il manque...

Mon dernier propos est à replacer dans celui du   23-06-18 à 11:44
Et reprend sous une autre forme le propos de flight qui suit celui-là

Peut-être pourriez-vous compléter votre calcul du 23-06-18 10:58 ?

ben P(X_i =< k) = k/n ... d'où le résultat ...

rebonjour carpediem,

En supposant que vous avez voulu écrire " ben P(X_i =< k) = k/N ... d'où le résultat ",

d'après vous, avec le dernier membre que j'ai complété :

N'est-ce pas   plutôt que qui est obtenu ?

pour que le maximum soit inférieur (ou égal) à k il faut et il suffit que :

le premier tirage est inférieur à k
et
le deuxième tirage est inférieur à k
et
...
et
le n-ième tirage est inférieur à k

et oui c'est évidemment P(X k)

Tout en ajoutant, et c'est essentiel, que la boule numérotée k doit obligatoirement être tirée au moins une fois, comme flight a voulu le signaler.

Et rend le résultat pas si intuitif ...

Bonsoir,

--> lafol, respectueusement : Non, bien relire, flight qui avait des doutes et moi n'avons pas confondu P(Xk) avec P(X=k).
Avec l'espoir que Moulotte soit maintenant certain de la bonne solution...