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L'histoire du deux fois par jour est un piège pour nous embrouiller. En réalité, ça revient à prendre le métro une fois par jour pendant deux ans où les prix du ticket et de l'amende n'évoluent pas (et on suppose qu'on a un bon chienchien qui travaille 7 jours sur 7 et qui prend ses trains dans une ville où les grèves n'existent pas, donc forcément en dehors de Paris ).
Sur ces deux ans, le voyageur économise 2*1.60*365 = 1168€ en ne payant jamais son ticket.
Si l'amende est de x euros, l'enfoiré de contrôleur qui serait là 30% du temps lui prendrait en moyenne x*365*2*30/100 = 219x euros.

donne, sauf erreur, euros, ce qui est beaucoup trop cher pour se faire passer pour honnête auprès des usagers. Dieu merci, sinon ça ferait longtemps qu'ils auraient augmenté le nombre de contrôles (et 30%, c'est déjà énorme, ça veut dire que la proba aller-retour de ne pas se faire pincer est de 0.7² = 49%, ce qui est peu) et le prix des billets avec

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Soit P_k la probabilité que le voyageur se fasse contrôler k fois sur les 730 trajets.


Je cherche n le plus grand entier tel que

soit : la probabilité que le voyageur soit contrôlé au moins n fois est supérieure à 3/4

Avec un tableur, je trouve n = 210, donc l'amende doit être de €. Dans un quart des cas, le voyageur sera contrôlé moins de 210 fois, donc paiera moins en amendes que la somme volée en ne payant pas ses tickets ; dans trois quarts des cas, il sera contrôlé plus de 210 fois et paiera plus en amendes que la somme volée en tickets.