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Proba

Posté par
flight
09-04-20 à 17:29

Bonjour

On dispose de jetons numérotés de 1 à n et on effectue des tirages au hasard de jetons de façons successif et sans remise et on s'arrête lorsque le numéro du jeton tiré est strictement supérieur au numéro du jeton tiré précédemment et on note X la variable aléatoire égale au  rang ou le tirage s'arrête  , donnez une expression de P(X=k)  et de E(X)

(exemple : pour le tirage suivant   6 5 4 2 1 3  on s'arrete de tirer au rang numéro 6 car 3 est plus grand que 1

Posté par
ty59847
re : Proba 09-04-20 à 18:24

Je complète l'énoncé parce que je ne suis probablement pas le seul pinailleur de la bande :

On s'arrête :
- soit quand le numéro tiré est strictement supérieur au numéro tiré précédemment
- soit quand il n'y a plus de jetons dans le sac.

Posté par
flight
re : Proba 09-04-20 à 18:45

voila ... bien completé , merci

Posté par
flight
re : Proba 10-04-20 à 13:22

personne ? :..... bon .. je pensais que c'etait un probleme sympa ....( ne me dites pas que vous toussez deja )

Posté par
verdurin
re : Proba 10-04-20 à 20:41

Bonsoir,
En notant Xn la variable aléatoire correspondant au tirage dans un sac contenant n jetons.

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Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 10-04-20 à 23:15

Bonjour,
il reste une imprécision dans l'énoncé : est-ce que X_n vaut n ou bien n+1 si on tire dans l'ordre n,n-1,n-2,...,2,1 ?

La valeur de l'espérance n'est alors pas la même, mais dans les deux cas c'est une somme partielle de série bien connue dont la limite vaut

 Cliquez pour afficher


Une remarque : si on fait des tirages avec remise, la loi et l'espérance sont différentes mais on obtient la même limite pour l'espérance.

Posté par
flight
re : Proba 10-04-20 à 23:37

bravo pour la valeur de l'esperance  qui est bien e1  je donne
P(X=k)=C(n,k).(k-1)/A(n,k)

Posté par
flight
re : Proba 10-04-20 à 23:39

Pour répondre à Jandri , X est le rang ou on s'arrete de tirer un jeton
si on a par  exemple  3 2 1 5   ici X=4  veut dire qu'on s'arrete de tirer au rang 4 , donc plus de tirage apres

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 11-04-20 à 09:54

flight tu ne réponds pas exactement à ma question, j'aurais dû donner un exemple numérique.

Pour n=5, le tirage 5 4 3 1 2 donne clairement X=5

Mais le tirage 5 4 3 2 1 donne-t-il aussi X=5 bien qu'on n'ait pas obtenu un nombre supérieur aux précédents lors du 5ème tirage ?

C'est pour cela qu'on peut poser alors X=6 car c'est au 6ème tirage qu'on s'aperçoit qu' il n'y a plus de jetons dans le sac

Posté par
flight
re : Proba 11-04-20 à 11:07

salut Jandri , je vois en effet , bonne suggestion , oui on peut en effet considerer ce cas
et pour les jetons numeotés de 1 à n , envisager le tirage n+1 qui ne donne plus de jetons

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 11-04-20 à 11:19

Avec cette précision (X=n+1 si on n'a jamais obtenu un nombre supérieur aux précédents lors des n tirages) la loi de X est :

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L'espérance vaut
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Sa limite quand n\to+\infty est égale à
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