Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau exercices
Partager :

Proba

Posté par
flight
22-04-20 à 06:52

Bonjour,

Une urne contient une boule blanche et une boule noire, on y effectue des tirages successifs de la façon façon suivante :
Si on tire une boule blanche, on la remplace par une boule noire, Si on tire une boule noire alors on la remplace par une boule blanche avec une  probabilité p et par une boule noire avec avec une probabilité q.
(moralité on a toujours 2 boules dans l'urne à la fin chaque étape de tirage).
On pose Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules noires presentes dans l'urne à l étape n.
Quelles sont les valeurs prises par Xn ?.
Quelle est la loi de Xn ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba 22-04-20 à 11:24

Bonjour,
La première question est facile :

 Cliquez pour afficher
C'est pour nous mettre en confiance

Un début pour la seconde question :
 Cliquez pour afficher

Posté par
veleda
re : Proba 22-04-20 à 16:34

bonjour,
X0=1

P(X1=0)=P(X1=2)=1/2
P(X1=1)=0

P(X2=1)=1
et l'on retrouve  la composition initiale
est-ce que l'on n'a pas
P(X2k=1)   =1
et
P(X2k+1)=0)=P(X2k+1=2)=1/2

Posté par
verdurin
re : Proba 22-04-20 à 21:54

Bonsoir,
je ne suis pas vraiment d'accord avec veleda que je salue.

 Cliquez pour afficher

Posté par
verdurin
re : Proba 22-04-20 à 23:09

Et j'ai certainement fait une erreur quelque part.

Posté par
veleda
re : Proba 22-04-20 à 23:48

bonsoir Verdurin,
désolée,, j"ai un très gros problème de vue et j'ai sans doute mal lu le texte malgré ma loupe,j'y reviendeai demain

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba 23-04-20 à 08:14

Bonjour,
@veleda,

Citation :
Si on tire une boule noire alors on la remplace par une boule blanche avec une probabilité p et par une boule noire avec avec une probabilité q.
En majuscules :
"SI ON TIRE UNE BOULE NOIRE ALORS ON LA REMPLACE PAR UNE BOULE BLANCHE AVEC UNE PROBABILITÉ \; P \; ET PAR UNE BOULE NOIRE AVEC UNE PROBABILITÉ \; Q ."

@verdurin,
 Cliquez pour afficher

Posté par
flight
re : Proba 23-04-20 à 14:30

Daccord avec les réponses de Sylvieg

Posté par
flight
re : Proba 23-04-20 à 14:31

je trouve pareil ...

Posté par
verdurin
re : Proba 23-04-20 à 19:33

J'ai refait le calcul en faisant plus attention.

 Cliquez pour afficher

Êtes-vous d'accord ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba 23-04-20 à 19:55

Déjà la somme fait bien 1
Je regarderai demain.

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 23-04-20 à 23:09

Bonjour,

ces derniers résultats de verdurin sont exacts.
Pour les obtenir on peut rechercher les valeurs propres de la matrice qui apparait dans le message de Sylvieg du 22-04-20 à 11:24 : 1 est valeur propre de la transposée et les deux autres valeurs propres se calculent aisément avec la trace et le déterminant. Cela permet d'écrire le vecteur donnant la loi de X_n sous la forme :

 Cliquez pour afficher


On en déduit que la loi de X_n a une limite que l'on peut alors calculer aisément à partir des relations données par Sylvieg.
 Cliquez pour afficher

Pour obtenir la loi de X_n il reste à résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

Sans calculer la loi de X_n on peut calculer son espérance à partir des relations données par Sylvieg. En effet, cette espérance vérifie une relation de récurrence très simple :
 Cliquez pour afficher

On en déduit E(X_n) et sa limite :
 Cliquez pour afficher

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !