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Proba
Bonjour
pas si dur ....
on dispose de p billes de couleur blanches et q billes de couleur noires , on fait passer ces billes de façon aléatoire dans un tube et a la sortie du tube on note X la variable aléatoire
egale au rang d'apparition de la première bille noire .
Exprimer P(X=k) et donner son espérance.
k 
Bonjour,
le second résultat de Sylvieg est aussi valable pour .
Pour compléter voici la valeur de l'espérance :
Cliquez pour afficherBonjour jandri,
Oui, il y avait une coquille pour les conditions sur k 
Jolie l'espérance !
Facile à trouver ?
Bonjour Sylvieg,
Je n'ai pas eu trop de mal puisque je connaissais l'exercice mais le calcul de l'espérance n'est pas très compliqué.
Il faut d'abord exprimer comme un quotient de deux coefficients binomiaux,
ne figurant qu'au numérateur, ensuite on utilise la définition de l'espérance et on fait "rentrer" le
dans le coefficient binomial.
Il y a aussi une formule simple pour l'espérance de , rang de la
-ième bille noire :
Cliquez pour afficherPour le problème analogue avec un tirage avec remise, la formule diffère un petit peu :
Cliquez pour afficherBonjour,
Merci jandri pour tes réponses.
Pas eu le temps d'approfondir ces derniers jours.
Je me dis que si les espérances sont si jolies, c'est qu'il y a sans doute quelque chose de caché derrière.
Mais je ne vois pas quoi. d'autant plus que je n'arrive même pas à calculer celle demandée par flight 
Cliquez pour afficherBonjour Sylvieg,
Très bien pour l'expression de comme quotient de combinaisons. Il y a une façon astucieuse d'obtenir directement cette expression.
On suppose que les billes sont toutes blanches au départ et on les tire une par une sans remise (cela revient à les classer : la 1ère, la 2ième, ..., la (
)ième). Ensuite on colorie en noir
billes prises au hasard.
s'obtient alors comme un quotient de deux combinaisons.
On peut généraliser de la même façon à , rang de la
ième noire :
Cliquez pour afficherCurieusement le calcul de
Tout d'abord on écrit que la somme des
Cliquez pour afficherPuis on applique la formule de l'espérance en utilisant la propriété bien connue :
L'identité binomiale (*) dans laquelle on augmente de 1 les entiers
Le cas du tirage avec remise est plus simple puisqu'on peut utiliser la loi géométrique.
Bonjour jandri,
Je réponds avec retard, mais j'ai eu du mal
Merci pour tes explications détaillées. La manière de trouver le quotient des 2 combinaisons est effectivement astucieuse.
Finalement, pour le problème initial, on a besoin de la formule (*) avec r=1 et r=2.
Mais, je reste étonnée de la simplicité du résultat pour l'espérance.
Bonjour Sylvieg,
il y a une explication pour la simplicité de la formule qui donne l'espérance. Je l'écris en blanké car cela fournit une démonstration sans calculs de la valeur de l'espérance.
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