Environ3%

Bonjour,

il n'y a pas de formule explicite pour la probabilité demandée mais seulement des formules de récurrence (ordre 3 ou ordre 4).

La récurrence d'ordre 4

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salut Jandri , j'ai fais comme suit  
j'ai posé An ( la probabilité d'avoir au moins une séquences de 3 piles successifs en n lancés)
et j'ai posé Pn ( la probabilité de ne pas avoir de séquences de 3 piles successifs en lancés)

et j'ai donc ecris que  An =  1-  Pn    avec

Pn = (2/3).P_n-1  + (2/9).Pn-2  + (2/27).Pn-3

A₃   me donnerai par exemple  1 - (2/3)P₂ - (2/9).P₁-(2/27).Po = 1 - (2/3 +  2/9   + 2/27)= 1/27         sur 3 lancés on a bien une seule facon d'avoir PPP

Bonsoir flight,

j'ai obtenu la même relation de récurrence que toi sauf que j'ai nommé ce que tu as nommé (c'est la probabilité que tu as demandée).

Mais cette relation de récurrence ne donne pas exactement la probabilité en fonction de .
Il existe cependant une expression qui fait intervenir les puissances -èmes des racines d'une équation du troisième degré.
Comme cette équation a une seule racine réelle, la formule de Cardan s'applique et on en déduit un équivalent un peu compliqué de ton .

La formule est donnée sans démonstration dans la suite A119826 de l'OEIS qui traite le même problème :

Merci pour ce lien jandri ,  un peu  compliquer à lire mais si j'ai bien compris la formule qui donnerait le nombre de cas pour avoir des sequences de chiffres ne contenant pas de "000" serait  (1+z+z^2)/(1-2*z-2*z^2-2*z^3) .?.. (pas trop sur de ce que j'ai compris sur cette page) ....

sinon j'avais l'idée d'une resolution matricielle  

avec  Pn+3 = (2/3).Pn+2  + (2/9).Pn+1  + (2/27).Pn
je pose que  Vn = Pn+1  ,  Zn = Pn+2   ce qui donne :  Vn+1 = Zn  du coup on a le systeme :

Zn+ 1 = (2/3).Zn  +  (2/9).Vn + (1/27).Pn
Pn+1 =   0.Zn  +  Vn  + 0.Pn
Vn+1 =       Zn +   0.Vn +  0.Pn

ce qui donne un systeme de le forme    X_n+1 = A .X_n
soit aussi X_n= Aⁿ.Xo      et sous reserve que A soit diagonalisable
on peut ecrire que A = P.D.P^-1    alors  Aⁿ= P.Dⁿ.P^-1

La fonction définie par s'appelle fonction génératrice de la suite = nombre de suites de n chiffres égaux à 0,1 ou 2, ne contenant pas la séquence "000".

Cela signifie qu'on a le développement en série entière : .

Pour calculer on peut effectivement faire une résolution matricielle. La matrice est diagonalisable sur le corps des complexes, mais les valeurs propres (une réelle, deux complexes non réelles) ont une expression bien compliquée avec la formule de Cardan. Cela n'est pas utile pour un calcul de pour une valeur de donnée, cela ne peut servir qu'à trouver un équivalent de quand tend vers l'infini.

Avec la relation de récurrence et avec un petit programme on trouve

Donc yns91 avait à moitié juste!

Pas exactement puisque flight ne demandait pas mais et

Ah oui, du coup ma boutade est hors de propos

Ah oui ^^