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Proba

Posté par
flight
31-10-20 à 21:40

Bonsoir

On se donne un panier de n objets numérotés de 1 à n et on y effectue des tirages successifs sans remise d'un objet à la fois jusqu'à ce que le numéro obtenu soit un multiple de 3 et lorsque c'est le cas , le jeu s'arrête. Si on note X , la variable aléatoire égale au le rang pour lequel le jeu s'arrête alors que vaut P(X=k) et que vaut son  espérance  ?

Posté par
jarod128
re : Proba 01-11-20 à 13:49

Hello,
je tente un truc rapide pour voir:

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Posté par
carpediem
re : Proba 01-11-20 à 17:45

salut

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Posté par
flight
re : Proba 01-11-20 à 22:31

salut

merci pour votre participation , avez testé par exemple k =1  sur vos formules ?

Posté par
ty59847
re : Proba 02-11-20 à 10:55

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Pour l'espérance, je pense que la formule générale va être très moche !

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 02-11-20 à 11:06

Bonjour,

c'est un cas particulier d'un exercice classique : on tire les boules une par une sans remise dans un urne contenant n boules dont a boules rouges et b boules blanches (n=a+b). X est le rang du tirage de la première boule rouge. Ici a=\lfloor n/3\rfloor.

La façon la plus rapide d'obtenir la loi de X est de colorier les boules rouges après avoir tout tiré. On voit qu'on peut ne pas numéroter les boules et on obtient directement P(X=k)=

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Pour le calcul de l'espérance il est plus rapide de calculer d'abord P(X>k)=
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D'où E(X)=
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Posté par
flight
re : Proba 02-11-20 à 11:12

daccord avec P(X=k) trouvé par ty59847

Posté par
flight
re : Proba 02-11-20 à 11:13

salut jandri , tu exposes une facon de trouver E(X) dans un cas general ? ..je ne vois pas le lien avec l'enoncé ...!

Posté par
flight
re : Proba 02-11-20 à 11:14

finalement je vois le parallèle ... pas mal merci !!

Posté par
flight
re : Proba 02-11-20 à 11:27

..par contre je ne vois pas l'utilité du calcul de P(X>k) pour arriver à l'espérance ? pourrais tu detailler? merci

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 02-11-20 à 16:16

J'utilise la formule : E(X)=\sum_{k=0}^nP(X>k)

Posté par
flight
re : Proba 02-11-20 à 16:49

Merci Jandri je ne connaissais pas cette version de calcul pour l'espérance , peut on en trouver un démonstration quelque part ?

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 02-11-20 à 22:32

Dans le cas où X ne prend qu'un nombre fini de valeurs (par exemple n), c'est facile :

P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=n-1)+P(X=n)
P(X>1)=\quad\quad\quad \quad \quad \;\;  P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=n-1)+P(X=n)
P(X>2)=\quad\quad\quad \quad \quad \;\;\quad\quad\quad \quad \quad \;\;                                      P(X=3)+...+P(X=n-1)+P(X=n)
........
P(X>n-2)=\quad\quad\quad \quad \quad \;\;\quad\quad\quad \quad \quad \;\;\quad\quad\quad \quad \quad \;\;                                                          P(X=n-1)+P(X=n)
P(X>n-1)=     \quad\quad\quad \quad \quad \;\;\quad\quad\quad \quad \quad \;\;\quad\quad\quad \quad \quad \;\;\quad\quad\quad \quad \quad \quad\quad   \;                                                                         P(X=n)

En ajoutant toutes les lignes on obtient :

P(X>0)+P(X>1)+P(X>2)+...+P(X>n-1)=E(X)

Posté par
jarod128
re : Proba 03-11-20 à 18:23

Je ne connaissais pas cette formule de l'espérance.

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 03-11-20 à 21:31

J'ai oublié de préciser que cette formule ne s'applique que pour les variables aléatoires qui prennent leurs valeurs dans \N (c'est très souvent le cas).

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 03-11-20 à 21:47

En cherchant un peu j'ai retrouvé que flight avait posé la généralisation de l'exercice le 27 avril 2020 : Proba



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