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Proba

Posté par
mousse42 11-02-21 à 18:58

Bonjour

J'ai deux v.a. telles que X\perp\!\!\!\!\perp Y de lois continue.

Je cherche \mathbb{P}(X\le Y), je n'arrive même pas à reformuler cette notation. D'ailleur je ne savais même pas qu'on pouvait rencontrer une telle écriture.

Merci pour votre aide

Posté par
mousse42re : Proba 11-02-21 à 19:06

ou alors on a \mathbb{P}(X\le Y)=\mathbb{P}(X-Y\le 0)
ça m'a l'air bien

Posté par
mousse42re : Proba 11-02-21 à 19:25

bon, je viens de trouver, merci

Posté par
mousse42re : Proba 11-02-21 à 19:31

je réponds à ma question  au cas où je devrais me relire avant les examens...

On utilise la loi conjointe de (X,Y) de densité \rho_X(t)\rho_Y(t)

Car X\perp\!\!\!\!\perp Y  donc \mathbb{P}_{(X,Y)}=\mathbb{P}_X\otimes\mathbb{P}_Y

Posté par
mousse42re : Proba 11-02-21 à 23:26

Donc si X\sim \mathcal{E}(\lambda) et Y\sim \mathcal{E}(\mu) et X\perp\!\!\!\!\perp Y et V=1_{X\le Y}

Alors

\Large P(V=1)=P(X\le Y)=P_{(X,Y)}\big[1_{X\le Y}(\R,\R)\big]=E_{P_{(X,Y)}}(1_{X\le Y})\\\\\large=\lambda \mu\int_{\R_+}\int_{\R_+}1_{x\le y}(x,y)e^{-\lambda x-\mu y}dxdy=\lambda \mu \int_0^{+\infty}\int_x^{+\infty}e^{-\lambda x-\mu y}dxdy=\lambda \mu \int_0^{+\infty}\Big(\int_x^{+\infty}e^{-\lambda x-\mu y}dy\Big)dx\cdots

Posté par
Ulmierere : Proba 12-02-21 à 13:01

L'indépendance te permet aussi d'écrire P(X<Y) = E(P(X<Y|Y)) = E(P(\mathcal{E}(\lambda) < Y |Y)) = E(1-e^{-\lambda Y}) = 1 - \left(1-\dfrac{-\lambda}{\mu}\right)^{-1} = \dfrac{\lambda}{\lambda+\mu}.

Posté par
mousse42re : Proba 12-02-21 à 18:58

ok, merci Ulmière, je ne comprends pas tout, il est probable que je revienne dessus plus tard, pour l'instant je dois avancer...


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