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puisque les chiffres sont équiprobables à chaque tirage seul compte le nombre de boules dans l'urne U (je note U et V les urnes)

si x_n désigne le nombre de boules dans l'urne U après le n-ième tirage alors on a :



  je tire une boule dans l'urne V que je place dans l'urne U
je tire une boule dans l'urne U que je place dans l'urne V

la probabilité demandée est alors

puisque 5 > 4 la seule façon pour que c'est que et qu'on choisisse une boule dans l'urne U



d'autre part car si on retire autant de boule de l'urne U (après) qu'on en a rajouté au final il y en a toujours 5

bien compliqué

d'autant plus que quand les neuf boules sont dans l'urne U il n'y a pas de choix ...

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après un tirage on a N=4 si et seulement si on a tiré une boule dans U1.
La probabilité de cet événement est 5/9.

Si on fait plusieurs tirages consécutifs on a une chaîne de Markov dont la matrice de transition est :

Les états étant repérés par le nombre de boules dans U1.
J'ai eu la flemme de diagonaliser cette matrice.

On peut remarquer qu'après un nombre pair de tirage P(N=4)=0 car la parité du nombre de boules dans U1 ( et dans U2 ) change à chaque tirage.

Le calcul, à la machine, de quelques puissances impaires de cette matrice laisse penser que la probabilité d'avoir N=4 après un grand nombre ( impair ) de tirages tend vers 0,492187 .