Niveau exercices

Proba

Posté par
flight 10-09-21 à 17:30

Bonjour, je vous propose l'exercice de proba suivant :
Une machine choisit de façon équiprobable 10 lettres dans l'alphabet {a, b, c} pour former un mot (l 'experience étant assimilé à un tirage avec remise)
Quelle est la probabilité de ne pas trouver dans ce mot les séquences "ac" ou "ca"

Posté par re : Proba 10-09-21 à 19:24

Bonjour flight.

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Posté par re : Proba 10-09-21 à 19:36

Bonjour,
merci d'animer.

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Posté par re : Proba 10-09-21 à 21:53

très bonne précision Jarod mais ou est le raisonnement ?

Posté par re : Proba 10-09-21 à 21:56

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Posté par re : Proba 10-09-21 à 22:22

Bonjour,

il y a une formule de récurrence simple pour le nombre de mots convenables de longueur $n$ (noté $u_n$ ).
On distingue ceux qui débutent par a (nombre $a_n$ ), par b (nombre $b_n$ ) et par c (nombre $a_n$ ) :

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Il est ensuite facile de calculer sans calculatrice $u_{10}$ d'où la probabilité $p_{10}=\dfrac{u_{10}}{3^{10}}$ .

On trouve

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Il existe une formule simple qui donne $u_n$ mais elle fait intervenir $\sqrt2$ et on a besoin d'une calculatrice pour en déduire une valeur approchée de $u_{10}$ .

Posté par re : Proba 13-09-21 à 19:09

Bravo pour vos réponses

j'ai pas suivi le même raisonnement que vous mais  en bidouillant j'ai obtenu la formule suivante :pour n4 ;

P_n=2[ 5.(1/3)ⁿ + (1/3)^n-k.P_k ] + (1/3).Pn-1   avec  k compris entre
2 et n-2    (possible de la simplifier mais j'ai pas poursuivi ) ceci dit elle donne les bonnes valeurs

Posté par re : Proba 13-09-21 à 20:34

Bonsoir flight,

ta formule un peu compliquée peut se simplifier en introduisant la suite d'entiers $(u_n)$ vérifiant $p_n=\dfrac{u_n}{3^n}$ .

En remplaçant les $p_k$ en fonction des $u_k$ dans ta formule on obtient une expression de $u_n$ puis en formant $u_{n+1}-u_n$ on a des simplifications et on obtient une récurrence linéaire d'ordre 2 qui permet un calcul facile des premiers termes de la suite $(u_n)$ et aussi d'obtenir une expression de $u_n$ en fonction de $n$ (sans symbole $\sum$ ).