Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau école ingénieur
Partager :

Proba

Posté par
toureissa
10-09-21 à 20:30

Bonsoir ,

J'ai un souci face a cet exercice :

Une urne contient N jetons numérotés de 1 à N. On tire sans remise n jetons . Soit X le  plus grand numéro dans l'échantillon .
Quel est le domaine de définition de X ?
Ensuite déterminer la loi de X.

Quant au domaine de définition j'ai trouvé {n,...,N}.

Ensuite l'événement (X=k) signifie que le plus grand nombre dans l'échantillon est k, autrement dit les (n-1) jetons sont tirés dans {1,...,k-1}

Par conséquent P(X=k)=\frac{C_{k-1}^{n-1}}{C_N^n}

Par contre je n'arrive pas à montrer que la somme des proba est égal à 1.
Je n'arrive pas à montrer que \sum_{k=n}^{N}{C_{k-1}^{n-1}}=C_N^n

Posté par
ty59847
re : Proba 10-09-21 à 20:42

Peut-être que le résultat que tu trouves pour P(X=k) est faux ? ( je ne sais pas)

Vérifie sur des petits nombres, par exemple N=4 et n=2  
Tu calcules P(X=2), P(X=3) et P(X=4)  et  tu regardes si la somme donne 1.
Si oui, ça ne prouve rien, mais si ça ne donne pas 1, alors, ça veut dire que ta formule est fausse.

Posté par
toureissa
re : Proba 10-09-21 à 20:54

Avec cet exemple je trouve :

P(X=2)=\frac{1}{6}
P(X=3)=\frac{2}{6}
P(X=4)=\frac{3}{6}

Et la somme donne 1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba 11-09-21 à 14:30

Bonjour,
Ne pas réussir à démontrer une égalité ne prouve pas qu'elle est fausse

Posté par
WilliamM007
re : Proba 11-09-21 à 17:43

Bonjour.

Tu cherches donc à montrer que \sum_{k=n}^N\binom{k-1}{n-1}=\binom Nn.

Je pense que cette propriété est assez claire quand on dessine un triangle de Pascal. Guidé par ce dessin, je te propose de montrer par récurrence sur p le résultat suivant :

\forall p\in\{n,\cdots,N\},\quad\sum_{k=n}^p\binom{k-1}{n-1}=\binom pn.

Posté par
toureissa
re : Proba 13-09-21 à 22:49

Bonsoir,

Merci beaucoup, je parvient a le faire.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba 14-09-21 à 08:14

Bonjour,
Une autre démonstration possible est ... la somme des probabilités est 1

Posté par
GBZM
re : Proba 14-09-21 à 09:12

Bonjour,

"Quel est le domaine de définition de X ?

Quant au domaine de définition j'ai trouvé {n,...,N}."

Ça c'est faux tu confonds domaine de définition de la variable aléatoire et ensemble où elle prend ses valeurs.
On peut prendre comme domaine de définition de la variable aléatoire X l'ensemble de toutes les parties à n éléments de {1,...,N} avec équiprobabilité. C'est d'ailleurs ce que tu fais implicitement quand tu mets \large C_N^n au dénominateur des probabilités que tu calcules.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba 14-09-21 à 11:36

Effectivement
En fait l'ensemble de définition est ce qu'on note souvent , l'univers des possibles.
Ici, on peut prendre pour l'ensemble de toutes les parties à n éléments de {1,...,N}.
Il y a alors équiprobabilité sur .

Posté par
WilliamM007
re : Proba 14-09-21 à 11:59

C'est vrai que la question "quel est le domaine de définition de X" m'a paru assez curieuse aussi.

Personnellement je n'aime pas trop m'étendre dessus, car souvent le côté farfelu d'une question s'explique par la manière dont le professeur a introduit le sujet. Le problème des probas, c'est que si on veut faire ça rigoureusement, on est obligé d'introduire tout un tas de notions assez difficiles à intégrer quand on les découvre. Du coup on est obligé de simplifier, quitte à sacrifier de la rigueur et de l'exactitude au profit d'une meilleure compréhension et intuition de ce qui se passe.

Le domaine de définition de X... Puisque X est une variable aléatoire qui peut prendre toute valeur entière comprise entre n et N avec probabilité non nulle, son domaine de définition peut être n'importe quel espace de cardinal au moins N-n+1. Ça peut être {n,...,N}, [0,...,N-n}, l'ensemble des parties à n éléments de {1,...,N}, \R, \C^3, \mathcal P(O_2(\R)), ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba 14-09-21 à 12:16

Oui, on a l'embarras du choix !
Il est souvent intéressant d'opter pour un univers avec lequel on aura équiprobabilité.
Avoir conscience que c'est un choix a une certaine importance.
Et une phrase pour justifier l'équiprobabilité toujours bienvenue.

Une remarque : Le demandeur a posté niveau "école d'ingénieur".
On peut donc l'encourager à approfondir un peu.

Posté par
GBZM
re : Proba 14-09-21 à 12:18

Je suis d'accord qu'on a plusieurs possibilités pour le domaine d'une variable aléatoire, le fameux univers \Omega. Mais il faut aussi préciser quelle mesure de probabilités on met dessus, sinon la variable n'est pas une variable aléatoire.
Et dans ce genre de problème, on recherche une équiprobabilité qui permet de calculer la probabilité comme nombre d'issues favorables / nombre total d'issues.

On peut bien sûr prendre comme domaine {n,.., N} et avoir pour X l'application identité ; mais alors se pose la question: quelle mesure de probabilité mettre sur {n,.., N}  ... on tourne en rond.

C'est pour ces raisons qu'une réponse raisonnable est de prendre pour univers l'ensemble des parties à n éléments de {1,...,N}. Et, je répète une nouvelle fois, le demandeur le fait de façon implicite avec son expression des probabilités qui fait apparaître C_N^n au dénominateur.

WilliamM007, j'aimerais bien que tu m'expliques ta modélisation avec comme univers \Omega=\mathcal P(O_2(\R))) en précisant la mesure de probabilité sur \Omega et l'application X : \Omega\to \{n,\ldots,N\}. N'en fais-tu pas un petit peu trop ?

Posté par
WilliamM007
re : Proba 14-09-21 à 19:27

Pas besoin de définir une mesure de probabilité pour dire que X est une variable aléatoire. En revanche on en a besoin pour parler de sa loi.

Je sais que j'ai tendance à polluer le forum avec des points de détail sans grand intérêt pour la plupart des gens, et le pire c'est que je fais souvent des efforts pour ne pas le faire, mais j'ai vu tellement d'élèves s'embrouiller les pinceaux sur ces histoires d'univers que je n'ai pas pu m'empêcher de mettre mon grain de sel.

L'esprit d'une véritable approche probabiliste veut qu'on ne précise surtout pas l'univers \Omega. C'est un espace absolument abstrait, et demander le domaine de définition d'une variable aléatoire est pour moi une aberration. Chercher à définir la probabilité \mathbb P l'est tout autant. Parfois, pour des raisons techniques, il peut être utile de le préciser, je pense notamment au cas du processus canonique sur l'espace des processus à valeurs réelles indexés par un ensemble ordonné. Mais sinon, on évite d'en parler. Je pense que la confusion vient du fait que lorsque l'on commence à étudier les probabilités, on voit des toy models, du style lancer de pièce ou lancer de dé, où on modélise l'univers par des trucs du genre \Omega=\{0,1\} ou \Omega=\{1,\cdots,6\}, avec des probabilités \mathbb P du genre \mathbb P(\{1\})=\cdots=\mathbb P(\{6\})=1/6. Puis on passe aux variables aléatoires, c'est-à-dire des applications du genre X:\Omega\to E. Et bien sûr, on imagine qu'ici, le \Omega qui apparaît est le même que celui qu'on a décrit pour les lancers de dés, de pièces ou autres. Alors que pas du tout. Ce qui joue ici le rôle de l'ancien \Omega, c'est le nouvel espace E. Le nouveau \Omega, et sa probabilité associée \mathbb P, ne se précisent surtout pas. Donc : le domaine de définition d'une variable aléatoire, sauf cas spécifique, ça ne se demande pas. Je trouve cette question complètement anti-pédagogique. Et je ne parle même pas de l'emploi du singulier...

Ici, si on veut respecter l'esprit probabiliste, on pourrait par exemple noter A_n l'ensemble des parties à n éléments de \{1,\cdots,N\}, U une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur A_n et définir X=\max_{u\in U}u. Absolument pas besoin de décrire \Omega ici. On se contente de parler de la loi de U, qui est la loi uniforme sur A_n.

Et pour répondre à la dernière question de GBZM, ce ne sont pas les choix qui manquent. Soient par exemple M_n,\cdots,M_N des matrices deux à deux distinctes de \mathcal O_2(\R). On munit \Omega de la probabilité

\mathbb P=\sum_{k=n}^{N}\frac{\binom{k-1}{n-1}}{\binom{N}{n}}\delta_{\{M_k\}},

et on définit

X:B\in\mathcal P(\mathcal O_2(\R))\mapsto\sum_{k=n}^Nk1_{\{B=\{M_k\}\}}

Posté par
GBZM
re : Proba 14-09-21 à 19:50

Citation :

Pas besoin de définir une mesure de probabilité pour dire que X est une variable aléatoire.

Sans mesure de proba sur \Omega, X:\Omega \to E n'est pas une variable aléatoire.
Tu connais l'histoire des cordes de Bertrand, je suppose ?

Je me doutais bien que t'allais sortir ce genre de truc pour \mathcal P(O_2(\R)). Franchement, je trouve ça ridicule : comment fais-tu pour trouver ta mesure de probabilité et convaincre qu'elle correspond bien au problème posé, si ce n'est en ayant en fait déjà fait le calcul sur un modèle raisonnable avec équiprobabilité des issues ?

Posté par
WilliamM007
re : Proba 14-09-21 à 20:11

Une variable aléatoire se définit entre espaces mesurables. Donc pas de tribus, pas de variables aléatoires, ça d'accord. En revanche, absolument pas besoin de définir une mesure de probabilité pour définir une variable aléatoire. On en a besoin seulement pour définir sa loi. Le paradoxe des cordes de Bertrand n'a rien à voir avec le concept de variable aléatoire, mais avec le concept de loi uniforme.

Et pour mon truc de \mathcal P(\mathcal O_2(\R)), bien sûr que c'est ridicule. Mais je trouve ça tout aussi ridicule de chercher à décrire \Omega. Ça va vraiment à l'opposé de la pensée probabiliste. L'univers, on le laisse tranquille. Tout ce qu'il faut, c'est qu'il soit suffisamment riche pour définir une loi uniforme sur [0,1]. Une fois qu'on a ça, on peut considérer quasiment toutes les lois qu'on veut (théorème fondamental de la simulation).

Posté par
GBZM
re : Proba 14-09-21 à 23:23

Dans tous les cours que je connais, une variable aléatoire est définie comme une fonction mesurable d'un espace probabilisé dans un espace mesurable.

Selon toi, une même variable aléatoire pourrait donc avoir plusieurs lois, suivant la mesure de probabilité qu'on met sur son domaine ??

Pourrais-tu me donner une référence où les variables aléatoires sont présentées comme ça ?

Posté par
WilliamM007
re : Proba 14-09-21 à 23:58

GBZM @ 14-09-2021 à 23:23

Selon toi, une même variable aléatoire pourrait donc avoir plusieurs lois, suivant la mesure de probabilité qu'on met sur son domaine ??

Évidemment... c'est même quelque chose de massivement utilisé. Je pense par exemple aux mathématiques financières où changer de probabilité pour changer de loi, en l'occurrence pour qu'un processus devienne martingale, est une nécessité quasi vitale. Je pense aussi au calcul stochastique et notamment au cultissime théorème de Girsanov qui permet de transformer des processus en mouvement brownien, justement en changeant de proba. C'est un peu la base pour prouver l'existence de solutions d'équations différentielles stochastiques.

Sinon, c'est vrai que c'est bizarre de parler de variable aléatoire si on n'a pas l'intention de munir l'espace de départ d'une proba (même si tout espace mesurable non vide peut être muni d'une mesure de proba triviale (celle qui associe 1 à tout ensemble, sauf l'ensemble vide)). En tout cas, comme dit plus haut, une variable aléatoire n'est associée à aucune proba particulière. Souvent on parle de LA loi d'une variable aléatoire, mais c'est surtout quand on s'est fixé une proba sur l'univers qui a priori ne change pas. Mais dans bien des situations, elle peut changer.

Posté par
GBZM
re : Proba 15-09-21 à 07:56

Citation :
Une variable aléatoire se définit entre espaces mesurables  ... absolument pas besoin de définir une mesure de probabilité pour définir une variable aléatoire.

Je t'ai demandé une référence où on définit une variable aléatoire de cette manière, et pas comme fonction mesurable d'un espace probabilisé  dans un espace mesurable.
Je constate que tu es incapable de me fournir une seule référence.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba 15-09-21 à 08:04

Bonjour,
Une remarque un peu "terre à terre" suivie sans doute d'une grosse bêtise :
Rien dans l'énoncé n'indique que les tirages sont équiprobables.
On pourrait imaginer que la probabilité de tirer le jeton numéroté i est proportionnelle à i.
On aurait alors une autre loi avec la même variable aléatoire ?

Rien non plus dans l'énoncé sur n N.

Posté par
GBZM
re : Proba 15-09-21 à 09:18

Dans tous les exercices de proba élémentaire, les issues de "tirages sans remise dans une urne" sont implicitement équiprobables.
On peut bien sûr imaginer plein de choses. On peut aussi imaginer qu'on tire sans remise 7 jetons dans une urne qui contient 4 jetons.

Mais bon ...

Posté par
WilliamM007
re : Proba 15-09-21 à 17:48

GBZM @ 15-09-2021 à 07:56

Citation :
Je t'ai demandé une référence où on définit une variable aléatoire de cette manière, et pas comme fonction mesurable d'un espace probabilisé  dans un espace mesurable.
Je constate que tu es incapable de me fournir une seule référence.

Tu as raison sur ce point.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1474 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !