Peut-être que le résultat que tu trouves pour P(X=k) est faux ? ( je ne sais pas)

Vérifie sur des petits nombres, par exemple N=4 et n=2  
Tu calcules P(X=2), P(X=3) et P(X=4)  et  tu regardes si la somme donne 1.
Si oui, ça ne prouve rien, mais si ça ne donne pas 1, alors, ça veut dire que ta formule est fausse.

Avec cet exemple je trouve :





Et la somme donne 1.

Bonjour,
Ne pas réussir à démontrer une égalité ne prouve pas qu'elle est fausse

Bonjour.

Tu cherches donc à montrer que .

Je pense que cette propriété est assez claire quand on dessine un triangle de Pascal. Guidé par ce dessin, je te propose de montrer par récurrence sur p le résultat suivant :

.

Bonsoir,

Merci beaucoup, je parvient a le faire.

Bonjour,
Une autre démonstration possible est ... la somme des probabilités est 1

Bonjour,

"Quel est le domaine de définition de X ?

Quant au domaine de définition j'ai trouvé {n,...,N}."

Ça c'est faux tu confonds domaine de définition de la variable aléatoire et ensemble où elle prend ses valeurs.
On peut prendre comme domaine de définition de la variable aléatoire X l'ensemble de toutes les parties à n éléments de {1,...,N} avec équiprobabilité. C'est d'ailleurs ce que tu fais implicitement quand tu mets au dénominateur des probabilités que tu calcules.

Effectivement
En fait l'ensemble de définition est ce qu'on note souvent , l'univers des possibles.
Ici, on peut prendre pour l'ensemble de toutes les parties à n éléments de {1,...,N}.
Il y a alors équiprobabilité sur .

C'est vrai que la question "quel est le domaine de définition de X" m'a paru assez curieuse aussi.

Personnellement je n'aime pas trop m'étendre dessus, car souvent le côté farfelu d'une question s'explique par la manière dont le professeur a introduit le sujet. Le problème des probas, c'est que si on veut faire ça rigoureusement, on est obligé d'introduire tout un tas de notions assez difficiles à intégrer quand on les découvre. Du coup on est obligé de simplifier, quitte à sacrifier de la rigueur et de l'exactitude au profit d'une meilleure compréhension et intuition de ce qui se passe.

Le domaine de définition de X... Puisque X est une variable aléatoire qui peut prendre toute valeur entière comprise entre n et N avec probabilité non nulle, son domaine de définition peut être n'importe quel espace de cardinal au moins N-n+1. Ça peut être {n,...,N}, [0,...,N-n}, l'ensemble des parties à n éléments de {1,...,N}, , , , ...

Oui, on a l'embarras du choix !
Il est souvent intéressant d'opter pour un univers avec lequel on aura équiprobabilité.
Avoir conscience que c'est un choix a une certaine importance.
Et une phrase pour justifier l'équiprobabilité toujours bienvenue.

Une remarque : Le demandeur a posté niveau "école d'ingénieur".
On peut donc l'encourager à approfondir un peu.

Je suis d'accord qu'on a plusieurs possibilités pour le domaine d'une variable aléatoire, le fameux univers . Mais il faut aussi préciser quelle mesure de probabilités on met dessus, sinon la variable n'est pas une variable aléatoire.
Et dans ce genre de problème, on recherche une équiprobabilité qui permet de calculer la probabilité comme nombre d'issues favorables / nombre total d'issues.

On peut bien sûr prendre comme domaine {n,.., N} et avoir pour X l'application identité ; mais alors se pose la question: quelle mesure de probabilité mettre sur {n,.., N}  ... on tourne en rond.

C'est pour ces raisons qu'une réponse raisonnable est de prendre pour univers l'ensemble des parties à éléments de {1,...,N}. Et, je répète une nouvelle fois, le demandeur le fait de façon implicite avec son expression des probabilités qui fait apparaître au dénominateur.

WilliamM007, j'aimerais bien que tu m'expliques ta modélisation avec comme univers en précisant la mesure de probabilité sur et l'application . N'en fais-tu pas un petit peu trop ?

Pas besoin de définir une mesure de probabilité pour dire que X est une variable aléatoire. En revanche on en a besoin pour parler de sa loi.

Je sais que j'ai tendance à polluer le forum avec des points de détail sans grand intérêt pour la plupart des gens, et le pire c'est que je fais souvent des efforts pour ne pas le faire, mais j'ai vu tellement d'élèves s'embrouiller les pinceaux sur ces histoires d'univers que je n'ai pas pu m'empêcher de mettre mon grain de sel.

L'esprit d'une véritable approche probabiliste veut qu'on ne précise surtout pas l'univers . C'est un espace absolument abstrait, et demander le domaine de définition d'une variable aléatoire est pour moi une aberration. Chercher à définir la probabilité l'est tout autant. Parfois, pour des raisons techniques, il peut être utile de le préciser, je pense notamment au cas du processus canonique sur l'espace des processus à valeurs réelles indexés par un ensemble ordonné. Mais sinon, on évite d'en parler. Je pense que la confusion vient du fait que lorsque l'on commence à étudier les probabilités, on voit des toy models, du style lancer de pièce ou lancer de dé, où on modélise l'univers par des trucs du genre ou , avec des probabilités du genre . Puis on passe aux variables aléatoires, c'est-à-dire des applications du genre . Et bien sûr, on imagine qu'ici, le qui apparaît est le même que celui qu'on a décrit pour les lancers de dés, de pièces ou autres. Alors que pas du tout. Ce qui joue ici le rôle de l'ancien , c'est le nouvel espace E. Le nouveau , et sa probabilité associée , ne se précisent surtout pas. Donc : le domaine de définition d'une variable aléatoire, sauf cas spécifique, ça ne se demande pas. Je trouve cette question complètement anti-pédagogique. Et je ne parle même pas de l'emploi du singulier...

Ici, si on veut respecter l'esprit probabiliste, on pourrait par exemple noter l'ensemble des parties à n éléments de , une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur et définir . Absolument pas besoin de décrire ici. On se contente de parler de la loi de U, qui est la loi uniforme sur .

Et pour répondre à la dernière question de GBZM, ce ne sont pas les choix qui manquent. Soient par exemple des matrices deux à deux distinctes de . On munit de la probabilité

,

et on définit

Une variable aléatoire se définit entre espaces mesurables. Donc pas de tribus, pas de variables aléatoires, ça d'accord. En revanche, absolument pas besoin de définir une mesure de probabilité pour définir une variable aléatoire. On en a besoin seulement pour définir sa loi. Le paradoxe des cordes de Bertrand n'a rien à voir avec le concept de variable aléatoire, mais avec le concept de loi uniforme.

Et pour mon truc de , bien sûr que c'est ridicule. Mais je trouve ça tout aussi ridicule de chercher à décrire . Ça va vraiment à l'opposé de la pensée probabiliste. L'univers, on le laisse tranquille. Tout ce qu'il faut, c'est qu'il soit suffisamment riche pour définir une loi uniforme sur [0,1]. Une fois qu'on a ça, on peut considérer quasiment toutes les lois qu'on veut (théorème fondamental de la simulation).

Dans tous les cours que je connais, une variable aléatoire est définie comme une fonction mesurable d'un espace probabilisé dans un espace mesurable.

Selon toi, une même variable aléatoire pourrait donc avoir plusieurs lois, suivant la mesure de probabilité qu'on met sur son domaine ??

Pourrais-tu me donner une référence où les variables aléatoires sont présentées comme ça ?

Bonjour,
Une remarque un peu "terre à terre" suivie sans doute d'une grosse bêtise :
Rien dans l'énoncé n'indique que les tirages sont équiprobables.
On pourrait imaginer que la probabilité de tirer le jeton numéroté i est proportionnelle à i.
On aurait alors une autre loi avec la même variable aléatoire ?

Rien non plus dans l'énoncé sur n N.

Dans tous les exercices de proba élémentaire, les issues de "tirages sans remise dans une urne" sont implicitement équiprobables.
On peut bien sûr imaginer plein de choses. On peut aussi imaginer qu'on tire sans remise 7 jetons dans une urne qui contient 4 jetons.

Mais bon ...