Bonjour,

le fait que n soit pair ou impair n'a aucune importance, ce qui importe c'est le reste de n dans la division par 3.

Dans le cas où n est multiple de 3 la probabilité est de manière évidente égale à 1/3.

Bonsoir Jandri   , j'ai obtenu la formule suivante

P = (n + 2(n-3k))/n²  , pour k allant de 1 à E((n-1)/3)

testée avec n = 9 j'obtiens  P = 27/81 = 1/3 .

et si n = 8 j'obtiens  P= 11/32

je n'ai pas tenté de simplifier cette formule ...

voila  une forme simplifiée du cas géneral pour n :

P(n)=[( -3.E((n-1)/3) + 2n - 3).E((n-1)/3) + n ]/ n^2    qui me redonne bien les resultats précédents.

Bonjour,

j'ai trouvé une formule très simple valable pour le problème plus général où p est un entier naturel non nul :
on choisit dans {1,2,...,n} deux entiers au hasard (ces derniers pouvant être identiques).
Quelle est la probabilité que leur différence soit multiple de p ?

Si la réponse est :

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excellent jandri , a titre d'exo je vais essayer de demontrer ton resultat

J'ai oublié de faire remarquer que dans le cas du problème initial (p=3) cela donne une probabilité égale à

si est multiple de 3 et sinon.

une formule que j'ai obtenue

P(n)=[( -p.E((n-1)/p) + 2n - p).E((n-1)/p) + n ]/ n^2    

en posant n=pq+r  il vient  P(n)=((n-r)/p)*((n+r-p)/n^2) + 1/n  

ce qui se ramene à ce que tu a trouvé : (1/p)+ r(p-r)/n².p

@flight

je suis d'accord avec ce que tu as trouvé.

On peut encore généraliser : soit des entiers naturels non nuls.
On choisit fois au hasard un entier entre et (on peut choisir plusieurs fois un même entier).
Quelle est la probabilité que tous les entiers choisis aient le même reste dans la division par ?

En posant avec et en distinguant le cas où le reste est compris entre et et le cas où il ne l'est pas on obtient facilement que la probabilité vaut :

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