Bonsoir,

la loi de probabilité de R en fonction de k est

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la loi uniforme sur {1, 2, ..., k+1}

Bonjour,

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P(R=n) = 1/(k+1)

avec 1 <= n <= k+1

Bonjour,
pour deux tirages on a P(R=1)=1/6, P(R=2)=4/6 et P(R=3)=1/6.
De façon générale :

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après n tirages P(R=k) est A(n,k-1)/n! où A désigne le triangle d'Euler

Bonjour d'accord avec les résultats de Verdurin

Effectivement, j'avais pourtant bien lu l'énoncé mais la formule de récurrence que j'ai écrite correspond au problème où l'on remet une boule de la même couleur que la boule tirée (problème classique que je connaissais).

Salut jandri.
J'ai commencé par faire la même erreur avant de me rendre compte que ce n'était pas le problème classique en faisant le calcul pour trois tirages.
Pour le triangle d'Euler, que je ne connaissais pas avant ce jour, j'ai écrit une relation de récurrence puis calculé des valeurs numériques et enfin cherché dans OEIS.

C'est vrai que l'OEIS est une bonne aide pour reconnaitre une suite à partir de ses premières valeurs.
Je connaissais les nombres eulériens mais je n'ai pas pu les reconnaitre à cause de mon erreur !

Bonsoir
je donne la relation de récurrence que j'ai obtenue :

P(R=j ,k) = P(R=j, k-1). j/(k+1) +  P(R=j-1,k-1).(k-j+2)/(k+1)  avec  
P(R=1 , 0) = 1  et 1 j k+1  ou j est le nombre de boule rouges à l'étape k
on peut retrouver le résultat de Verdurin pour le calcul de P(R=1,2) qui donne 1/6  , P(R=2,2)=2/3  ,P(R=3,2)=1/6

Bonjour,
Comme je suis largué en analyse,j'ai voulu voir concrètement...
pour 4 coups ,je trouve  1/24;11/24;11/24;1/24.
Je présume que le coup suivant donnera:
1/120 ;4;120;55/120;55/120;4/120;1/120

Bonjour dpi,

ce calcul de probabilités n'est pas "de l'analyse", il se résout avec seulement une formule de récurrence

Tu as dû faire une faute de calcul car pour 5 coups on trouve (1 26 66 26 1) chaque nombre divisé par 120.

On peut obtenir pratiquement sans calculs l'espérance du nombre de boules rouges présentes dans l'urne après k tirages :

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Bonsoir jandri, c'est bien (k+2)/2   pour l'espérance

Bonjour,

on peut aussi montrer que la probabilité de tirer une boule rouge au k-ième tirage est égale à 1/2, donc indépendante de k (sans utiliser la loi de ).

Bonsoir,
Si on peut le faire, faisons-le : sur l'ensemble des histoires de tirages (il y a telles histoires, pas toutes équiprobables) l'involution qui échange les couleurs envoie une histoire sur l'histoire qui a même probabilité que et réalise une bijection de l'ensemble des histoires avec -ème tirage rouge sur l'ensemble des histoires avec -ème tirage vert.