Bonjour à tous je dois rendre un dm dont le sujet n'est autre que l'exercice numéro 3 de l'esc année 99
:

Soit n un entier naturel non nul
Une Urne Un contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue dans cette une succession de tirages d'une boule, en appliquant la règle suivante : si une boule tirée porte le numéro k, avant de procéder au tirage suivant, on enlève de l'urne toutes les boules dont le numéro est supérieur ou égal à k.
On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour vider l'urne Un de toutes ses boules

Partie A
Pas de problème
(les résultats ne sont pas à réutiliser pour la suite je ne tape donc pas cette partie)



Partie B
1) Calculer P(Xn=1) et P(Xn=n)
Pas de pb P(Xn=1) = 1/n et P(Xn=n)= 1/n!


2) Soit N1, la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée.
a) Déterminer la loi de N1
pour k compris entre 1 et n P(N1=k)=1/n

b)verifier que pour tout entiers i et k compris entre 2 et n (inclus) on a :                
P(Xn=k/N1=i) = 0 si i k-1          
P( si i k
Là j'ai plus ou moins réussi à justifier pour le premier et le deuxième je ne vois pas comment rédiger bien que cela soit évident !!

c) Montrer que pour tout entier k compris entre 2 et n on a P(Xn=k) =
Je ne vois pas


3) Calculer P(Xn=2)
Une fois la question précédente faite bien évidemment celle ci c'est qu'une formalité


4) Pour n2 on pose Vn = n!P(Xn=n-1)
a) Etablir que pour tout n2, = Vn + n
b) En déduire P(Xn = n-1)
Je n'ai pas encore réfléchi à ces questions étant donné celle que je n'ai pas réussi précédemment mais je pense qu'en remplace P(Xn) par son expression cela doit venir !!

Il y a une partie C mais je préfère voir si je n'arriverais pas à la faire moi même une fois que vous m'aurez (je l'espère) éclairci sur les quelques points que je n'arrive pas à résoudre
En vous remerciant par avance !!