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Proba et barycentre
Bonjour,
Je vous propose l'exercice suivant :
Soient 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛 des points fixes dans le plan. À chacun de ces points, on associe coefficient de pondération tiré au hasard, indépendamment, de façon uniforme dans l'ensemble ;
{1,2,…,p}.
En calculant le barycentre pondéré de ces points, quelle est la position moyenne de ce barycentre, en fonction des positions des points ?
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Bonjour
Dans la réponse de Verdurin, il faut bien comprendre que la symétrie dont il parle est celle de la loi uniforme, ayant son espérance comme centre de symétrie. Pour toute façon de tirer aléatoire ayant cette même symétrie dans les valeurs possibles, on aura le même résultat (iso barycentre) . Pour toute loi de probabilité n'ayant pas cette symétrie, la position moyenne des points obtenus aléatoirement ne sera pas le même (pas iso barycentre)
Enfin, le barycentre moyen n'a aucune raison d'être le point le plus probable dans le tirage aléatoire.
Ah mais je me suis trompé : la position moyenne des points aléatoires est toujours l'iso barycentre (sous hypothèses que la loi de probabilité ait une espérance) puisque le barycentre est linéaire.
Mais cela n'a effectivement rien à voir une position la plus probable (qui est l'iso barycentre si la loi de probabilité possède un mode, ie une valeur plus probable que les autres. Ce que la loi uniforme ne possède justement pas)
Décidément, j'écris bien trop vite aujourd'hui 
En effet, l'iso barycentre est le point le plus probable (la situation est comparable à la somme obtenue avec plusieurs dés) : l'iso barycentre est obtenu via plusieurs n-uplets dans {1,... ,p}^n, les autres barycentres sont obtenus avec moins de n-uplets.
Après mes âneries, une petite image construite à partir
des 4 points (+- 1, +- 1) et
des poids tirés uniformément entre 1 et p=10 :
Au dessus, on voit très bien que la position moyenne est bien l'isobarycentre des 4 points (+-1, +-1) , où la concentration est la plus forte.
Et maintenant avec les mêmes 4 points
mais un tirage aléatoire des poids plus "tordu" :
1,2,3,4,5 avec proba 0.1 ,
et 100 avec proba 0.5
Voici la distribution des barycentres obtenus :
Même si le dessin ci-dessus ne le laisse pas apparaître, la densité de l'isobarycentre (0,0) des 4 points (+-1, +-1) est très élevée.
Je ne résiste pas à laisser encore un dessin, trop joli
un tirage aléatoire des poids :
1,2,3,4,5 avec proba 0.1 , et 20 avec proba 0.5
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