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Proba et dérivation
Bonjour!
J'ai un dm à faire pendant les vacances et je bloque sur le début de cette exercice:
Une urne contient n jetons dont 7 sont bleus et les autres sont jaunes (n est un entier naturel supérieur ou egal a 7) .
On prélève successivement et sans remise deux jetons de l'urne.
1) Dans cette question, on suppose que n = 10
Calculer les probabilités des événements suivants :
P(A): «le premier jeton est bleu est l'autre jaune »
P(b):" un jeton est bleu et l'autre est jaune »
P(c): « les deux jetons sont bleus »
P(d): « les deux jetons sont de la même couleur »
2) Dans cette question, n désigne un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 8.
On appelle Pn la probabilité que deux jetons tirés soient de couleurs différentes.
Démontrer que Pn = 14(n-7)/ n^2 -n
Déterminer les entiers naturels n pour lesquels la probabilité Pn est maximale. Préciser la valeur de Pn correspondante.
J'ai des difficultés en proba donc je ne vois pas trop comment faire.. pour la 1 ère question comme n=10 on a 7 jetons bleu et 3 jaune donc il faudrait mettre au numérateur 7*3 je pense mais au dénominateur je ne sais pas du tout
En vous remerciant de l'aide que vous pourrez m'apporter
Bonjour !
En fait, je bloque sur la construction de l'arbre je pensais faire une branche avec « n-7 » mais je suis bloqué..
bonjour,
en attendant le retour de Carpediem :
Q1 : 1) Dans cette question, on suppose que n = 10
donc 10 billes, dont 7 bleues et 3 jaunes.
construis l'arbre et poste le !
Je suis vraiment perdue, je nàrrive jamais à construire d'arbre pondéré je vous met ce que j'ai fais mais je ne pense pas que ce soit bon
Yasmin45,
détends toi et souffle un bon coup !
On en est à la question 1 : ici, tu sais que n=10.
Pas question d'écrire n dans ton arbre, puisque tu sais qu'il y a 10 jetons en tout.
Tu tires un premier jeton :
il est Bleu avec quelle proba ?
il est jaune avec quelle proba ?
oui, c'est ça. commence à dessiner l'arbre.
une branche vers B (p=7/10) et une branche vers J (p=3/10)
Ca c'est pour le 1er tirage. Maintenant, on va compléter l'arbre avec le 2ème tirage.
Le tirage est sans remise : tu ne remets pas ce jeton dans l'urne, tu le gardes dans ta main.
Il en reste combien dans l'urne ?
Si celui qui est dans ta main est bleu, il en reste combien de bleu dans l'urne et combien de jaunes ?
Ah oui je comprend mieux merci !!
Si celui qui est dans ma main et bleu il en reste 6/9 ? Ou alors 7/9 ?
Pour le jaune 2/9 ou 3/9 ?
si celui qui est dans ta main est bleu, il ne peut pas en rester 7 bleu dans l'urne, il n'y en reste que 6 sur 9.
et il reste 3 jaunes.
alors, à partir du Bleu du 1er tirage, dessine deux branches , une pour B (proba = 6/9) et une pour J (p=3/9)
ensuite SI celui que tu as dans la main est Jaune, il en reste combien de bleus dans l'urne ? et combien de jaunes ?
impeccable !
à présent, avant de répondre aux questions, tu peux écrire au bout de chaque branche l'issue et la proba qui lui correspondent.
Ensuite, répondre aux questions ira très vite.
D'accord merci beaucoup
On a p(A)= 10/30
Pour P(b) je n'ai pas compris, il y a « 2 chemins » c'est ça ?
P(c)=7/15
P(d)=8/15
as tu complété l'arbre avec les probas des issues ? as tu vérifié que le total de ces probas est égal à 1 ?
Je n'ai pas vérifié que leur total était égal à 1,
Pour p(a) j'ai fais 7*3/10*9 puis j'ai mis au plus petit dénominateur
OK pour ton calcul, mais 7*3 = 21
p(A) = 21/90 = 7/30 et non 10/30 ....
pour p(B) = p( BJ U JB) = p(BJ) + p(JB) = 2 * 7/30 = 7/15
(remarque au passage que p(BJ ) = p(JB)
p(C) et p(D) sont OK .
A présent, on peut passer à la question suivante.
l'énoncé dit "On appelle Pn la probabilité que deux jetons tirés soient de couleurs différentes."
on va donc s'intéresser à l'issue BJ ou JB.
une des deux suffit, puisqu'elles sont égales
prenons BJ
cette fois il y a n jetons dans l'urne dont 7 bleus.
Pour l'issue BJ, le 1er jeton est Bleu : quelle est la proba ?
Ça correspond au première arbre que j'avais posté le début de cette question ?
Si le premier jeton est bleu 7/n
Si le premier jeton est jaune n-7/n
Si après avoir pris un premier bleu (7/n) on en retire un deuxième bleu ça donne 6/n ?
si tu es libre maintenant et qu'on ne traîne pas on peut terminer maintenant..
oui, ça correspond à ce que tu avais écrit au départ.
en effet, 1er jeton bleu p= 7/n
tu gardes un jeton dans ta main, il y en avait n dans l'urne, il en reste combien dans l'urne ? (toi , apparemment, tu penses qu'il en reste n ?).
on s'intéresse à l'issue BJ : c'est le cas ou le deuxième jeton est jaune. Tu as vu que le nombre de jetons jaunes s'écrit (n-7) ..
juste au passage ... mais Leile peut évidemment continuer :
à présent, avant de répondre aux questions, tu peux écrire au bout de chaque branche l'issue et la proba qui lui correspondent. au brouillon oui mais pas au propre ...
Ensuite, répondre aux questions ira très vite. car il faudra rédiger au propre les calculs effectués ... et les résultats qu'on recopiera de son brouillon
enfin bien utiliser les notations (des événements) de l'énoncé qui avec leur contraire permettent de décrire toutes les situations ... avec les symboles
et 
éventuellement si nécessaire introduire proprement un événement particulier du genre : notons X (ou toute lettre) l'événement "..."
Dans l'urne il en reste n-1 ?
Je n'ai pas compris la fin de votre message désolé.
Mais il n'y a pas de soucis on peut reprendre plus tard !
oui, il en reste (n-1)
donc au 1 tirage p(Bleu) = 7/n et au deuxième tirage, au dénominateur tu écriras (n-1)..
que mets tu à la place des ???? sur la branche rouge ?
en passant :
Yasmin45, il faut vraiment que tu vérifies si tes réponses sont possibles ; tu proposes n/(n-1) donc par exemple 10/9 ce rapport est >1 alors qu'une proba est comprise entre 0 et 1...
ta réponse est forcément fausse.
tu vois ?
la proba que tu dois écrire là, c'est :
nombre de jetons jaunes/nombre de jetons dans l'urne
on a vu qu'au dénominateur, à ce moment, il y a bien (n-1) jetons dans l'urne.
Et à ce moment, il y a combien de jetons jaunes dans l'urne ?
il y avait (n-7) jetons jaunes au départ, et tu as retiré un bleu, donc, il reste combien de jetons jaunes ?
d'où la proba = ?? / (n-1)
NB : sur l'arbre que j'ai posté à 13:44, ne regarde QUE le haut de l'arbre, le bas correspond à la partie 1 de l'exercice...
oui, c'est ça !
ainsi la proba (B J) = 7(n-7)/ ( n(n-1) )
je te rappelle la question :
On appelle Pn la probabilité que deux jetons tirés soient de couleurs différentes (soit Bleu et Jaune OU Jaune et Bleu)
Pn = p(BJ) + p(JB)
et tu as vu que p(BJ)=p(JB) donc tu dois pouvoir démontrer que Pn = 14(n-7)/ (n^2 -n)
n'est ce pas ?
J'ai environ 40 min là donc oui je m'y met ! J'essaye de voir comment je pourrais démontrer et je poste !
pourquoi termines tu avec un point d'interrogation ? tu n'es pas sûre ? Pourtant tu retrouves bien l'énoncé..
mais côté rédaction, ça n'est pas ça..
"7(n-7)/ ( n(n-1) )
Équivaut à :
14*(n-7)/n(n-1)"
non, 7 ne vaut pas 14...
p(BJ) = 7(n-7)/ ( n(n-1) )
p(BJ) = p(JB)
donc p(BJ) + p(JB) = 2*p(BJ) = 14*(n-7)/n(n-1)
Pn = 14(n-7)/(n² -n)
OK ?
Pn maximale ? à ton avis, comment peux tu faire ?
Oui la rédaction n'était pas clair
Pn maximale on dérive d'abord je suppose ! F'(x)=14*((x*2-x)-(2x-1)(x-7))/(x^2-x)^2)
=14*(x^2-14x+7)/(x^2-x)^2
Du coup on a un trinôme du second degrés numérateur donc on peut faire une étude de signe et trouver le maximum locale
Au dénominateur on a un carré, donc toujours positif
Enfin si je ne me suis pas trompé
Bonne soirée à toi aussi !
à demain.
NB : ta dérivée devrait commencer -14 et non 14 .... faute de frappe ?
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