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Niveau autre
Proba et plan orthonormé
Posté par Eos (invité)
Bonjour tout le monde,
Voilà, j'ai un problème de dénombrement et par extension, de proba.
Je vois la situation mais pour la retranscrire ....
Un plan orthonormé (O, i , j) tel qu'un individu se trouve à l'origine O du plan à l'instant 0 et ses coordonnées à l'instant n sont des variables aléatoires Xn et Yn
Quelle est la probabilité pour que l'individu se trouve de nouveau à l'origine à l'instant 2n?
Voilà, dans qu'elle direction je suis parti:
Soit Ci "l'individu se trouve à l'origine à l'instant i"
P(C2n) =
Mon problème est de trouver x.
Soit HBi "l'individu descend horizontalement à la date i"
Soit HHi "l'individu monte horizontalement à la date i"
Soit VDi "l'individu va à droite à la date i"
Soit VGi "l'individu va à gauche à la date i" (car il peut se déplacer sur tous les points du quadrillage)
POur revenir à O, il doit y avoir autant de HH que de HB et autant de VD que de VG. Donc je décompose son parcours en
temps, le premier, durant les n premiers instant, où il va où il veut, puis les n suivant, où il doit revenir.
Mais après, je bloque ...car tout dépend de combien de HB ou de HH etc ... il a "parcouru", il faut le savoir pour qu'il puisse revenir...
Voilà, je suis bloqué là. Si vous pouviez me mettre sur la voie, ce serait cool.
Merci d'avance, Eos
à chaque pas on a le choix entre U (montée) D (descente) R (à droite) ou L (à gauche)
Un trajet revenant au point de départ doit comporter autant de U que de D et autant de R que de L : s'il y a p fois U, il y a p fois D, n-p fois R et n-p fois L
Pour chaque p il y a C(2n,p) façons de disposer les U, C(2n-p,p) façons de disposer D et C(2n-2p,n-p) façons de disposer R (les L sont alors placés)
Soit au total Somme(p=0 à n)((2n)!/(p!(2n-p)!)*(2n-p)!/(p!(2n-2p)!)*((2n-2p)!/(n-p)!²=
=Somme(p=0 à n) (2n)!/(p!²(n-p)!²)=C(2n,n)*Somme(p=0 à n) C(n,p)²
Je n'ai plus en tête s'il y a une expression simple de la somme des carrés des coeff du binôme... mais on a déjà un peu avancé
Posté par Eos (invité)Merci
Salut Piepalm,
Je te remercie infiniement pour ce que tu as fait.
Je n'avais pas pensé à faire la somme.
Je ne crois pas qu'il y ai de formule (simple) pour le carré des coeff binomiaux.
Mais en tout cas, je te remercie.
Amicalement, Eos