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Niveau école ingénieur
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Proba pièces truquées pièces normales

Posté par
Maesan
09-11-22 à 07:31

Bonjour à tous en fait j'ai un soucis sur un exo de proba dont l'énoncé est le suivant

Emile possède 5 pièces de monnaie, dont 2 sont normales, 2 ont deux côtés « face », et une a 2 côtés < pile ».

1) Il prend une pièce au hasard et la lance. Quelle est la probabilité qu'il voit « face>?

A ce niveau je n'ai pas eu de soucis j'ai fait un arbre et j'ai facilement observé ces situations:
Si je note Bv:voir face
Alors pour qu'il puissent voir face il faudrait qu'il ait choisi la piété normale(2/5) et puis avec une probabilité de 1/2 d'avoir face ou alors celle qui a deux faces (2/5) avec une proba de 1 de voir face
En remontant dans l'arbre je trouve ceci: 2/5*1/2 +2/5

2) Il voit << face ». Quelle est la probabilité que l'autre côté de la pièce soit aussi « face » ?
Bc:pièce cachée face
J'ai calculé la probabilité de l'intersection de Bc et Bv(leur intersection)
Alors il ne peut qu'avoir tiré la pièce à deux faces dans ce cas ce qui est possible avec une probabilité de 2/5
Il relance la même pièce
3) Quelle est la probabilité que le côté caché de la pièce soit « face ?
En fait je ne comprends vraiment plus à partir de cette question vu que je ne connaîs pas la pièce … ou alors je me mets dans la situation que cette pièce est celle à deux faces et je dis que la proba est de 1 de voir face?
4) Il voit de nouveau « face ». Quelle est la probabilité que l'autre côté de la pièce soit aussi << face >> ?
On sait qu'il relance meme pièce et il voit face
Quelle est la différence entre cette question et la question 2


Il choisit ensuite au hasard une des autres pièces et la lance.

5) Quelle est la probabilité de voir de nouveau « face» (pour la troisième fois)?

Je ne comprends pas vraiment ces questions je ne connais pas la pièce qu'il a tirée comment je dois procéder ?ou alors je devrais considérer qu'il a choisi la pièce avec deux face et faire le prochain choix parmi les 2 pièces normales et la pièce truquée constituée de pile uniquement et dans ce cas le choix de la pièce normale de fait avec une probabilité de 2/3 et celle anormale 1/3(vu qu'il ne fera plus le choix des pièces avec deux faces) et je ne pense pas avoir utilisé la donnée « pour la troisième fois »

Également j'ai visité des anciens topics un peu similaires mais en fait j'ai surtout un problème sur cet exercice avec l'énoncé

Merci de m'expliquer svp🙏🏽

Posté par
ty59847
re : Proba pièces truquées pièces normales 09-11-22 à 09:59

Dans les exercices de dénombrement, c'est toujours utile de rendre tous les événements parfaitement identifiables.
Il y a 2 pièces normales : N1 et N2, 2 pièces avec Face de chaque coté ( F1 et F2) et 1 pièce avec pile de chaque coté (P1)
Quand on lance une pièce, il y a toujours 2 issues possibles, elle tombe sur la coté p ou sur le coté f.
Pour les pièces normales , le coté p est pile et f est face, pour les 2 autres, p et f sont identiques.
On a donc 10 issues possibles N1p, N1f, N2p, N2f, F1p, F1f etc etc
Et ces 10 issues sont équiprobables (c'est tout l'intérêt). Chaque issue a une proba 1/10.  On va pouvoir compter sur nos doigts pour chaque question.

Question 1 :  ok
Question 2 : On sait qu'on a obtenu face.  On sait donc qu'on a tiré une de ces 6 issues (N1f, N2f, F1p, F1f, F2p, F2f)
On nous demande 'quelle est la proba que la pièce soit truquée (face de chaque coté). On a 4 cas qui correspondent ; la proba est donc 4/6, soit 2/3.

Question 3 : Je relance cette pièce.
Je ne sais pas si c'est une pièce normale ou une pièce avec Face de chaque côté, mais j'ai 2 chances sur 3 que ce soit une pièce truquée.
... Je sais donc calculer la proba d'avoir Face

La question 4 devient plus compliquée, mais si tu t'y prends avec méthode, tu peux trouver. Il faut vraiment décomposer le raisonnement en toutes petites étapes, en événements équiprobables, introduire des notations pour chaque événement.

Posté par
Maesan
re : Proba pièces truquées pièces normales 09-11-22 à 10:50

Je ne parviens pas toujours à comprendre svp🙏🏽
En fait je vois les 2/3 mais au niveau de la 3 e question je ne comprends vraiment pas

Posté par
ty59847
re : Proba pièces truquées pièces normales 09-11-22 à 13:14

Dessinons un arbre.
Je prends une pièce au hasard. 5 possibilités N1 N2 F1 F2 ou P1
avec les notations précédentes.
Chaque pièce a une petite lettre p ou f écrite sur chaque face.

Je la lance, donc 10 possibilités N1p, N1f , ...  ..., P1p, P1f
J'ai obtenu un Face, donc je suis sur une des branches N1f N2f F1p F1f F2p ou F2f
Je relance cette pièce, quelle est la probabilité d'avoir face.
Pour chacune des 6 branches de l'arbre, j'ai 2 options, j'obtiens une face ou l'autre face.
Si je complète l'arbre, j'ai donc maintenant 12 options.
N1ff, N1fp, N2ff, N2fp, F1pf, F1pp, F1ff, F1fp, F2pf, F2pp, F2ff, F2fp,  
Sur ces 12 options, je compte sur mes doigts. Les seuls cas où je vois Pile, c'est si la pièce est une pièce normale, et si en plus elle tombe sur le côté identifié p.
Donc 2 chances sur 12 de voir Pile, et donc 10 sur 12 de voir Face.

Ce n'est peut-être pas clair.
1. je fais en sorte que chaque événement soit parfaitement identifiable. Donc je donne un nom différent à chaque pièce : J'ai 2 pièces normales, totalement identiques, soit, je colle une petite étiquette N1 sur l'une, et N2 sur l'autre. Maintenant elles sont différentes.
J'ai des pièces avec FACE de chaque coté. Soit, je colle une petite étiquette avec p d'un coté, f de l'autre, comme ça les 2 cotés sont différents.  Et pour les pièces normales , idem, je colle une étiquette p du coté Pile, et f du coté Face, ça me permet d'utiliser les mêmes notations pour toutes les pièces.

Dans mes notations, si j'ai pris une pièce normale, et si je tombe sur p (respectivement f), ça veut dire que je vois Pile (respect. Face) ; et si j'ai pris une pièce avec Face/Face, peu importe que je vois p ou f, je vois Face.
Et ça me permet de faire un arbre, qui correspond à la chronologie de l'exercice. Et avec des probas identiques sur toutes les branches. J'ai uniquement à compter le nombre de branches.
Etape 1, on choisit une pièce au hasard ( 5 branches dans mon arbre)
Etape2, on lance cette pièce (5x2 branches dans mon arbre)
Etape 3, on relance cette pièce (5x2x2 branches dans mon arbre)
Sauf qu'à cette étape, j'ai choisi d'être fainéant, je n'ai pas dessiné toutes les branches.
J'avais une information qui me permettait d'éliminer 4 des 10 branches, je les ai donc 'abandonnées'.

C'est très bourrin, mais c'est robuste. Pas besoin de se prendre la tête, toutes les branches de l'arbre ont la même probabilité.

Si au lieu de 5 pièces, on en avait 45 par exemple, dont 13 normales , 21 avec face/face et 11 avec Pile/Pile, évidemment, on s'y prendrait autrement, on regrouperait ensemble certains des cas.
Je pense que 'pédagogiquement', on commence par la façon simple,  on fait un arbre et toutes les branches ont le même poids.
Puis on peut refaire le même exercice, en dessinant un arbre qui va être à peu près 2 fois plus petit, et où les proba associées à chaque branche vont être différentes.

Posté par
Maesan
re : Proba pièces truquées pièces normales 04-01-23 à 20:19

Salut merci et  désolée de ne pas avoir répondu plus tôt
Mais sincèrement jusque là c'est pas trop clair
Je n'arrive toujours pas à comprendre j'ai les meme soucis
Merci

Posté par
Maesan
re : Proba pièces truquées pièces normales 04-01-23 à 20:49

Les mêmes*

Posté par
Maesan
re : Proba pièces truquées pièces normales 04-01-23 à 20:50

Y'aurait il un autre moyen que l'arbre s'il vous plaît ? parceque je m'embrouille beaucoup avec cet arbre

Posté par
Maesan
re : Proba pièces truquées pièces normales 05-01-23 à 10:21

S'il vous plaît 🙏🏽

Posté par
GBZM
re : Proba pièces truquées pièces normales 05-01-23 à 14:29

Bonjour,
Multipost :

Posté par
Maesan
re : Proba pièces truquées pièces normales 05-01-23 à 21:32

D'accord je pensais qu'il s'agissait de deux sites différents

Posté par
Maesan
re : Proba pièces truquées pièces normales 05-01-23 à 21:32

S'il vous plaît quelqu'un pourrait m'aider?

Posté par
GBZM
re : Proba pièces truquées pièces normales 05-01-23 à 23:42

La première chose serait de donner un énoncé correct et complet.
Je subodore qu'il y a un nouveau lancer de pièce avant la question 4.

Posté par
Vassillia
re : Proba pièces truquées pièces normales 06-01-23 à 00:23

Bonjour, je ne pense pas qu'il y ait besoin de relancer.
Je lance une pièce
Q1 : proba d'avoir face sur le coté visible ?
Q2 : proba d'avoir face de l'autre coté sachant qu'on voit face ?
Je relance la même pièce
Q3 : proba d'avoir face sur le coté invisible ?
Q4 : proba d'avoir face de l'autre coté sachant qu'on voit face

Puisque tu bloques à la Q3, je te fais remarquer que la question serait exactement la même si on se demandait la proba d'avoir face sur le coté visible ?
La différence avec la Q1 tient au fait qu'on ne peut plus avoir des pièces avec 2 piles, à ce stade on est sachant l'événement "face obtenu au premier lancer"
Donc on va calculer P("face obtenu au deuxième lancer" | "face obtenu au premier lancer")

Il y a deux manière de faire :
Soit tu restes prudemment dans l'univers défini dès le départ et tu écris la formule des probabilités conditionnelles
=P("face obtenu au deuxième lancer \cap "face obtenu au premier lancer") / P("face obtenu au premier lancer")
On connait déjà le dénominateur, pour calculer le numérateur, l'arbre est pas mal mais je regrouperais les branches en fonction des différents types de pièce,
- Quelle est la proba d'avoir une pièce normale ? Et dans ce cas quelle est la proba d'avoir 2 faces de suite ?
- Quelle est la proba d'avoir une pièce truquée avec que des faces ? Et dans ce cas quelle est la proba d'avoir 2 faces de suite ?
- Quelle est la proba d'avoir une pièce truquée avec que des piles ? Et dans ce cas quelle est la proba d'avoir 2 faces de suite ?

Soit tu te places dans l'univers étudiée dans la Q2 qui est celui conditionnée par l'obtention de face au premier lancer, c'est à dire dans l'univers où on a viré les pièces avec que des piles et où on a trouvé que la proba d'avoir une pièce truquée avec que des faces est de 2/3
- Quelle est la proba d'avoir une pièce normale d'après nos résultats ? Quelle est la proba d'avoir face au prochain lancer ?
- Quelle est la proba d'avoir une pièce truquée avec que des faces d'après nos résultats ? Quelle est la proba d'avoir face au prochain lancer ?

Si tout se passe bien, tu devrais trouver le même résultat avec les 2 méthodes

Posté par
Maesan
re : Proba pièces truquées pièces normales 07-01-23 à 05:10

D'accord merci beaucoup madame dès que j'essaye cela je présenterai



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