bonsoir,
il faudrait une confirmation (trop simple tue le simple) mais je dirai que la proba est de 1/4
imagine que ton problème soit:
j'ai un compteur prenant une valeur entière aléatoire entre 1 et 400
quelle est la proba que la valeur soit supérieur à 300?
il y a 100 valeurs sur les 400 possibles, soit 100/400=1/4

salut

on peut decomposer A comme suit [1...,300,301,.......400]

le nombre de cas favorables qui fait que la valeur choisie dans A soit superieur à la valeur choisie dans B est

est compris entre 301 et 400 et on compte 100 termes   donc p = 100/400 = 1/4

....on peut aussi evoquer le fait que si X est une variable aléatoire  = au nbr choisit dans A suit une loi uniforme dans [1;400]

et sa loi de probabilité est P(Xx)= ( x - 1) /(400-1)= (x-1)/399

et il suffit de chercher P(X > 300)= 1 - P(X300) = 1 - (300-1)/399 = 1-299/399 = 0,250

ce qui est proche de 1/4

Excusez-moi mais je crois que vous n'avez pas bien lu l'énoncé de mon problème.
Je ne recherche pas la proba que A soit supérieur à 300 (parce que même nul en proba je me serais débrouillé ), mais que A soit supérieur à B, A prenant les valeurs entières de 1 à 400 et B celles de 1 à 300.

Bonjour,

une façon intuitive de faire ça est de considérer qu'on choisit de façon équipropable un point (x, y) dans le rectangle de dimension 300x400 et la probabilité cherchée est le rapport de l'aire au dessus de y=x sur l'aire totale
ce qui donne sauf erreur de calcul 5/8

cela donne une probabilité si x et y étaient des variables continues
Via le théorème de Pick sur le nombre de points d'un polygone sur réseau, on peut obtenir la version "discrète" où x et y sont des nombres entiers.
histoire d'affiner ce 5/8
à détailler bien entendu...
mais comme 300 et 400 sont >> 1 le résultat devrait être très voisin de 5/8

Merci pour votre réponse.
J'aimerais une réponse non géométrique qui me permettrait de généraliser à le raisonnement à toutes les valeurs de A et B.

bonsoir,
je traduirais cela par

en passant aux probabilités,  la probabilité cherchée
p=en supposant que les indications des compteurs soient indépendantes
si A et B suivent des lois uniformes  je trouve ce qui est encore très voisin de

avec :

c'est pareil quelles que soient les valeurs de A et B

et "non géométrique" et bien :
tu peux toujours dire qu'il y a 300x400 = 120000 événements
et compter le nombre d'événements favorables pour
A = 0 : 0 (impossible d'avoir A > B)
A = 1 : 1, (seul B = 0)
A = 2 : 2, (B = 0 ou 1)
A = 3 : 3,
...
A = 300 : 300, (B = 0 à 299 inclus)
A = 301 : 301, (toutes les valeurs de B)
A = 302 : 301, (idem)
...
A = 400 : 301 (idem)

et faire la somme de tout ça (ce qui revient à la formule de l'aire d'un triangle + un rectangle hé, hé )
0 + 1 + ... + 301 = (1/2)*301*302
plus 301*(400-301) = 301*99

à comparer avec la formule "continue" qui donne (1/2)*300*300 + 300*100 pour l'aire verte.
et donc la probabilité cherchée = ((1/2)*301*302 + 301*99) / 120000

Nota : une petite simulation sur 100000 tirages aléatoires de A et B donne une probabilité de A > B de l'ordre de 0.622
à comparer avce 5/8 = 0.625

en corrigeant mes compteurs qui vont de 0 à 400 etc en "de 1 à 400" (et le 120000 aurait même alors dû être 301*401 mébon) cela donne :
A = 1 : 0, (impossible)
A = 2 : 1, (seul B = 1)
A = 3 : 2, (B = 1 ou 2)
...
A = 300 : 299, (B = 1 à 299 inclus)
A = 301 : 300, (toutes les valeurs de B)
A = 302 : 300, (idem)
...
A = 400 : 300 (idem)
et donc
(1 + 2 + ... + 299) + 300*100 = 300*299/2 + 300*100
et P = (300*299/2 + 300*100)/(300*400) = 0.62375

(mais bon, c'est toujours voisin de 5/8)

@Veleda : merci pour votre réponse. Mais le résultat est forcément supérieur à 1/2 puisque 400>300 ; il doit y avoir une erreur de calcul. C'est dommage parce que ce type de formule me permettrait de l'implémenter dans mon tableur.

@Mathafou : bravo, votre raisonnement donne une réponse qui a de bonnes chances d'être juste. Malheureusement je ne pourrais pas le faire ingurgiter au tableur.

Bonsoir,
pour A entre 1 et 400  (A0)
pour B entre 1 et 300  (B0)
P(A>B)=499/800                  p(AB)=301/800

p(AB)=501/800                 p(A<B)=299/800

Cours sur les suites numériques de première

bonjour,
oui ,étourderie de calcul

j'avais oublié le 2 au dénominateur

Bonjour
Bon, je me corrige aussi,
car on peut simplifier

Il faut regarder le travail de Mathafou et de Veleda:
pour A entre 1 et a
pour B entre 1 et b
si a>b
P(A>B)=(2a-b-1)/2a=1-(b+1)/2a =
         (et p(AB)=1-P(A>B)  )
ou
P(AB)=(2a-b+1)/2a=1-(b-1)/2a =     (et  p(A<B)=1-P(AB)  )

>> Chatof
je suis d'accord

Formidable !
Je vous remercie beaucoup, vous me retirez une fière chandelle du pied !
Merci Mathafou, Veleda, Chatof, Flight et Jolu.
Bonne journée à vous.



***PROBLEME RESOLU***

Au fait, une petite contribution qui peut éventuellement être pratique pour qui aurait le même type de calcul :
Si les compteurs A et B ont des maximums suffisamment élevés, on peut approximer la proba que A soit supérieur à B à :
P(A>B) = 1-b/2a

Et dans ce cas la solution graphique est très pratique:
Mathafou Posté le 14-06-13 à 22:49   Proba pour 2 compteurs indépendants