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Niveau école ingénieur
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Proba/Stats Variables aléatoires.

Posté par
Edouardbrn78
06-10-20 à 15:52

Bonjour à tous,

Dans le cadre de mes études j'étudie les statistiques et les probabilités, cependant cela fait 3 ans que je n'en ai pas fait je suis donc un peu rouillé voici mon problème.

Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires à valeurs dans N² tel que∀(p,q)∈N²,
P(X=p,Y=q) =λ((p+q)/(p!q!2p+q))

1. Déterminer λ.

J'ai avec moi la correction de l'exercice mais il y a 2 étapes que je comprends pas.

Premièrement le passage de la première ligne à celle avec la flèche orange.
J'arrive bien à obtenir le :
1 = (i/i!)((1/(j!2^(i+j)) + 1/(2^i *i)(1/(j-1)!*2^j))

Mais je comprends pas le passage à la ligne suivante. De même pour le passage à la partie pointé par la flèche verte.

En vous remerciant de votre aide.

Proba/Stats Variables aléatoires.

Posté par
lionel52
re : Proba/Stats Variables aléatoires. 06-10-20 à 16:06

Hello !

\sum_{j \geq 0} \frac{(1/2)^j}{j!} = e^{1/2}


\sum_{j \geq 1} \frac{(1/2)^j}{(j-1)!} 
 \\ = \frac12 \sum_{j \geq 1} \frac{(1/2)^{j-1}}{(j-1)!}
 \\ = \frac12 \sum_{j \geq 0} \frac{(1/2)^{j}}{j!}
 \\ = \frac12 e^{1/2}
 \\

Il reste donc normalement à la ligne suivante :

\lambda \left(\sum_{i \geq 1} \frac{1}{(i-1)!2^i}e^{1/2} + \sum_{i \geq 0} \frac{1}{2^i i!}\frac12 e^{1/2} \right)
 \\ = \lambda \left(\frac12 e^{1/2} \sum_{i \geq 0} \frac{1}{i!2^i}+ \frac12 e^{1/2}  \sum_{i \geq 0} \frac{1}{2^i i!}\right)
 \\ = \lambda(2\frac12e^{1} ) = \lambda e

Posté par
lionel52
re : Proba/Stats Variables aléatoires. 06-10-20 à 16:07

Maintenant ce qui aurait été plus intelligent ça aurait été de voir la symétrie dans les variables et de voir que ta somme fait directement

2 \lambda \sum_{j \geq 0}\sum_{i \leq 0} \frac{i}{2^{i+j}i!j!}



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