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Niveau énigmes
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Proba, une suite.

Posté par
verdurin
10-02-20 à 18:26

Bonsoir,
à la suite de cette question

flight @ 07-02-2020 à 17:12

bonjour

soit un sac contenant  des jetons numérotés de 1 à n , on tire au hasard successivement et avec remise des jetons de ce sac (on en prend un , on note sa valeur et on le remet dans le sac)  et on s'arrête lorsqu'on a obtient un nombre qui figure déjà dans les tirages précédents , soit  alors k le  rang de ce  tirage , que vaut P(X=k) ?

dont la réponse est

$P$(X=k)=\dfrac{\mathsf{A}_n^{k-1}}{n^{k-1}}-\dfrac{\mathsf{A}_n^{k}}{n^{k}}=\dfrac{\mathsf{C}_n^{k-1}\cdot(k-1)!\cdot(k-1)}{n^k}

J'ai calculé ( avec un tableur ) les probabilités pour quelques valeurs de n.

Et je me demande quelle est, en fonction de n,  la valeur de k la plus probable.
Je ne connais pas la réponse, c'est JFF.

L'usage du blank me semble inutile.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba, une suite. 10-02-20 à 18:31

Bonjour verdurin,
Je m'étais posée la question de l'espérance.
A voir après

Posté par
flight
re : Proba, une suite. 10-02-20 à 18:40

salut

je pense comme  Sylvieg ...une esperance du rang k

Posté par
flight
re : Proba, une suite. 10-02-20 à 18:43

...l'esperance etant meme pas simple à calculer ...

Posté par
verdurin
re : Proba, une suite. 10-02-20 à 18:52

Pour l'espérance :

$E$(X)=\sum_{k=1}^{n+1}$P$(X\geqslant k)=2+\sum_{k=2}^{n}\frac{\mathsf{A}_n^k}{n^k}

Bien sur ce n'est pas une formule close, et si vous trouvez mieux je suis preneur.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba, une suite. 11-02-20 à 08:35

Je propose \; E(\dfrac{3}{2} + \sqrt{n+1}) .
E n'est pas l'espérance, mais la partie entière

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba, une suite. 11-02-20 à 08:36

Pour la valeur de k la plus probable.

Posté par
matheuxmatou
re : Proba, une suite. 11-02-20 à 14:55

bonjour

l'espérance de X vaut

$E$(X)= \sum_{k=2}^{k=n+1} k \times $P$(X=k)= \sum_{k=2}^{k=n+1} \dfrac{\mathsf{C}_n^{k-1}\cdot k!\cdot(k-1)}{n^k}

si je ne m'abuse et si la formule de Verdurin est correcte...

Posté par
verdurin
re : Proba, une suite. 14-02-20 à 23:15

Bonsoir,
je dois bien avouer que je n'arrive à rien.

Je n'ai pas encore cherché à vérifier la formule de Sylvieg.

Du côté de l'espérance j'ai fini par sombrer dans l'empirisme.
Pour les valeurs de n entre 100 et 5000 la formule $E($X_n)=1,\!253\,242\,776\times \sqrt{n}+0,\!672\,134 donne de bon résultats. ( À 10-3 )

Posté par
matheuxmatou
re : Proba, une suite. 14-02-20 à 23:23

verdurin
mais tu confirmes la formule que je donne ci-dessus ?

Posté par
verdurin
re : Proba, une suite. 14-02-20 à 23:52

@matheuxmatou
Oui, si je ne me trompe pas.

Posté par
veleda
re : Proba, une suite. 16-02-20 à 13:08

bonjour,
en étudiant le rapport  P(X=k+1)/P(X=k) j'ai  un
résultat qui ressemble à celui de Sylvieg

E (\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+4n})

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba, une suite. 16-02-20 à 22:33

Bonjour veleda,

je trouve comme toi (même méthode).

Posté par
matheuxmatou
re : Proba, une suite. 16-02-20 à 22:38

j'ai un peu de mal à comprendre comment l'étude de ce rapport vos mène à l'espérance... quelque chose m'échappe

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba, une suite. 16-02-20 à 22:45

Bonsoir,

Citation :
E n'est pas l'espérance, mais la partie entière

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba, une suite. 16-02-20 à 22:47

Il ne s'agit pas du calcul de l'espérance mais de la question posée par verdurin au début :

"je me demande quelle est, en fonction de n, la valeur de k la plus probable"

Posté par
matheuxmatou
re : Proba, une suite. 16-02-20 à 22:48

Sylvieg
certes, mais c'est quoi le but ? c'est de calculer l'espérance non ?

Posté par
matheuxmatou
re : Proba, une suite. 16-02-20 à 22:49

jandri
ah ok ...
vu qu'il parlait de l'espérance ensuite, je ne comprenais plus

Posté par
matheuxmatou
re : Proba, une suite. 16-02-20 à 22:50

verdurin @ 10-02-2020 à 18:52

Pour l'espérance :

$E$(X)=\sum_{k=1}^{n+1}$P$(X\geqslant k)=2+\sum_{k=2}^{n}\frac{\mathsf{A}_n^k}{n^k}

Bien sur ce n'est pas une formule close, et si vous trouvez mieux je suis preneur.


d'ailleurs pour moi cette formule est fausse, la première somme commence à k=2 puisque l'univers image par X est {2;3;4 ... ; n+1}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba, une suite. 17-02-20 à 08:32

Pour nous mettre d'accord, ou pas, sur une formule de l'espérance : Une égalité avec deux parties entières

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Proba, une suite. 17-02-20 à 09:00

Oups : Sur une formule pour la valeur de k la plus probable.



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