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Niveau école ingénieur
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Probabilité 1'

Posté par
Mathes1
14-03-23 à 19:16

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Soit X une variables aléatoires discrète tel que X()= et dont la loi de probabilité
n*
Pn=\dfrac{1}{n}P_{n-1}
1) déterminer la loi de probabilité de X
*Je pense qu'on va calculer
P(X≥1) mais je ne sais pas exactement quoi faire
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
2) calculer l'espérance E(X) et la variance Var(X)ou V(X)
Merci à tous

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilité 1' 14-03-23 à 20:42

Bonjour,
Je ne fais que passer.
C'est quoi Pn par rapport à X ? P(X = n) ?

Posté par
Mathes1
re : Probabilité 1' 14-03-23 à 21:28

Bonjour
Je pense qu'il s'agit de calculer
Pn(X≥1)=(1/n) *Pn-1(X≥1) mais j'ai aucune idée comment faire merci

Posté par
GBZM
re : Probabilité 1' 14-03-23 à 21:51

Bonsoir,
Peux-tu donner l'énoncé exact ? Ça facilitera la discussion.

Posté par
flight
re : Probabilité 1' 15-03-23 à 00:20

salut

je fais que passer ..mais bon comme dit GBZM  il faut un enoncé clair
de mon coté je pense qu'il s'agit de calculer P(X=n)   à partir de l'expression P(X=n)= (1/n)*P(X=n-1)   trouver P(X=n) en fonction de P(X=1)     puis  P(X=1)   en sachant que la somme des proba donne 1

Posté par
Mathes1
re : Probabilité 1' 20-03-23 à 14:57

Bonjour
Oui je suis désolé l'énoncé correct correspond bien à
P(X=n)=1/n *P(X=n-1)
Et on note f(n)=(1/n)*f(n-1)
Donc par récurrence si f(0)≠0 alors f(n)=1/(n!)*f(0)
*Initialisation pour n=1 on a f(1)=1/1*f(0) on suppose que  f(n)=(1/n! )*f(0) est vrai et montrons que cette propriété est vrai pour n+1
On a f(n+1)=1/(n+1)*f(n)=1/(n+1) *1/n! *f(0)
f(n+1)=1/((n+1)n!)*f(0)=1/(n+1)! *f(0)
Donc la propriété f(n) est vrai pour n≥1
\sum_{n=0}^{\infty} f(n)=1<=> \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}*f(0)=1<=> f(0)\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}=1<=>f(0)*e=1
<=> f(0)=e-1
Donc la loi de X est f(n)=1/n! *e-1
P(X=n)=1/(n!)*e-1 loi de poisson en 1
Merci beaucoup
pour l'espérance
E(X)=\sum_{n=0}^{\infty}n*P(X=n)=\sum_{n=0}^{\infty}n*\frac{1}{n!}e^{-1} =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(n-1)!}e^{-1}
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
verdurin
re : Probabilité 1' 20-03-23 à 22:07

Bonsoir,
\sum_{n=0}^{\infty}n\cdot\frac{1}{n!}e^{-1} =\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot\frac{1}{n!}e^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}e^{-1}

Posté par
Mathes1
re : Probabilité 1' 21-03-23 à 09:55

Bonjour
Donc E(X)=e-1\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!}=e*e^{-1}=1
Mais je ne comprends pas la dernière égalité

Citation :
\sum_{n=0}^{\infty}n\cdot\frac{1}{n!}e^{-1} =\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot\frac{1}{n!}e^{-1}=\red{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}e^{-1}}

Merci beaucoup
Pour la variance c'est
V(X)=E(X2)-E(X)2
=\sum_{n=0}^{\infty}n²P(X=n)-1=\sum_{n=0}^{\infty}n²\dfrac{1}{n!}e^{-1} -1=\sum_{n=1}^{\infty}n²\dfrac{1}{n!}e^{-1} -1
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup

Posté par
verdurin
re : Probabilité 1' 21-03-23 à 23:41

Pour la dernière égalité on fait le changement de variable k=n-1.

Posté par
carpediem
re : Probabilité 1' 22-03-23 à 09:55

salut

\sum_0 n^2 \dfrac 1 {n!} = \sum_1 n \dfrac 1 {(n - 1)!} = \sum_1 (n - 1 + 1) \dfrac 1 {(n - 1)!} = ...

Posté par
Mathes1
re : Probabilité 1' 22-03-23 à 19:49

Bonjour
Pourquoi ça :

Citation :

\sum_0 n^2 \dfrac 1 {n!} =\red{ \sum_1 n \dfrac 1 {(n - 1)!}}= \sum_1 (n - 1 + 1) \dfrac 1 {(n - 1)!}= ...

Personnellement je fait ça :
\sum_0 n^2 \dfrac 1 {n!} = \sum_1( n-1)² \dfrac 1 {(n - 1)!}
Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Probabilité 1' 22-03-23 à 20:34

je ne comprends pas .... mais si cela te permet de conclure ...

pour ma part :

carpediem @ 22-03-2023 à 09:55

\sum_0 n^2 \dfrac 1 {n!} = \sum_1 n \dfrac 1 {(n - 1)!} = \sum_1 (n - 1 + 1) \dfrac 1 {(n - 1)!} = \blue \sum_2 \dfrac 1 {(n - 2)!} + \sum_1 \dfrac 1 {(n - 1)!}

Posté par
Mathes1
re : Probabilité 1' 24-03-23 à 13:10

Bonjour
Je ne ne comprends vraiment pas votre méthode, existe il une autre méthode plus simple s'il vous plaît merci beaucoup

Citation :
\sum_0 n^2 \dfrac 1 {n!} = \sum_1( n-1)² \dfrac 1 {(n - 1)!}=\sum_1( n-1)² \dfrac 1 {(n - 1)!}=\sum_{1}^{}\dfrac{n-1}{(n-2)!}=\sum_{0}^{}\dfrac{n}{(n-1)!}=\sum_{0}^{}\dfrac{n-1+1}{(n-1)!}=\sum_{0}^{}(\dfrac{1}{(n-2)!}+\dfrac{1}{(n-1)!})

Posté par
carpediem
re : Probabilité 1' 24-03-23 à 13:38

carpediem @ 22-03-2023 à 09:55

\sum_0 n^2 \dfrac 1 {n!} = \sum_1 n \dfrac 1 {(n - 1)!} = \sum_1 (n - 1 + 1) \dfrac 1 {(n - 1)!} = \blue \sum_2 \dfrac 1 {(n - 2)!} + \sum_1 \dfrac 1 {(n - 1)!} \red = e + e

voir le post de verdurin à 22h07 ...

Posté par
Mathes1
re : Probabilité 1' 24-03-23 à 15:27

Bonjour

Citation :
\sum_0 n^2 \dfrac 1 {n!} = \red{\sum_{0}^{}n*\dfrac{n}{n!}=\sum_{0}^{}n*\dfrac{1}{(n-1)!}}=
 \\ \sum_1 n \dfrac 1 {(n - 1)!} = \sum_1 (n - 1 + 1) \dfrac 1 {(n - 1)!} = \blue \sum_2 \dfrac 1 {(n - 2)!} + \sum_1 \dfrac 1 {(n - 1)!} \red = e + e

Merci beaucoup je comprends maintenant au finale la variance de X est
\boxed{\huge\red{V(X)=e^{-1}*(2e)-1=1}}
Merci à tous

Posté par
carpediem
re : Probabilité 1' 24-03-23 à 17:32

de rien



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