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Niveau Licence Maths 1e ann
Probabilité
Posté par drake
Alors voilà j'ai un exercice où je bloque un peu voir beaucoup si vous pouvez m'aider merci
on considère un vecteur aléatoire (X,Y) dont la loi admet une densité f(x,y) (par rapport à la mesure de lebesgue).
Soit Z la v.a.r valant Y/X lorsque X différent de 0 et 0 sinon
1)a)
Constater que la loi du vecteur aléatoire (X,Y) admet également une densité,on pourra évaluer P(X,Y)
A\(
*x) et P(X,Z)A
(*x)
b) en déduire que la loi de la variable aléatoire Z admet une densité et la déterminer
2)on suppose que la loi de (X,Y) est la probabilité gaussienne de densité :
( exp(-(x²+y²)/2))/2π
a)expliciter alors la densité de la loi Z
b)de quelle loi classique s'agit-il? c'est une loi image de la probabilité uniforme sur ]-π/2,π/2[ par quelle application ?
deux erreurs dans le 1)a) c'est "constater que la loi du vecteur aléatoire (X,Z)"
et l'autre erreur c'est "on pourra évaluer P(X,Z)"
Soit H : ² 
+ borélienne telle que H(0 , .) = 0 .
On a : E(H o (X,Z)) = 
H(x,y/x)f(x,y)dxdy = H(x,z)f(x,xz)|x|dxdz
donc la loi de (X,Z) admet (x,z) 
|x|f(x,z) pour densité (par rapport à la mesure de Lebesgue sur ) .
Soient h : + borélienne et H: ² + définie par H(x,z) = h(z) si x 
0 et H(0,z) = 0 .
On a : E (h o Z) = E(H o (X,Y/X)) = H(x,y/x)f(x,y)dxdy = H(x,t) f(x,tx)|x|dxdt = h(t)f(x,tx)x||dxdt = (|x|f(x,tx)dx)dt = h(t)g(t)dt si on pose g(t) = |x|f(x,tx)dx .
La loi de Z admet donc g pour densité (par rapport à la mesure de Lebesgue sur ) .