Bonjour,

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Je suppose .

J'obtiens et qui tendent vers 0

Je crois bien que les formules restent valables pour

Bonjour,

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Je ne sais pas si j'ai bien compris :

Je pars de l'idée que la surface peinte initiale sera constante et qu'elle
se retrouvera  sur les petits cubes successifs "bien exposés"
Le nombre de cubes est lié à n par n ³
le nombre de faces par 6n³
les cotés mesureront 1/n
leur aire 1/n² soit 6/n²
aire cumulée des cubes  6n³/n² soit 6n
la probabilité qu'une face du cube n soit colorée est égale à n ?

lake : oui

dpi :

carpediem @ 29-12-2017 à 13:14

un cube dé dont les faces sont peintes est découpé en cubes identiques ...

on choisit un cube au hasard et on note X la variable aléatoire égale au nombre de faces peintes de ce cube _{^{donc celui qui a été choisi au hasard !!}} ...


déterminer la loi de X, son espérance et sa variance en fonction de n ... puis leur limite quand n tend vers l'infini ...


have some fun ...

Bonjour,
Merci d'animer carpediem

Je m'inspire du message de dpi, pour calculer l'espérance :

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En fait, on peut faire la moyenne dune série statistique :
Nombre total de petites faces peintes : 6n² .
Nombre de petits cubes : n³ . D'où la moyenne : 6/n .

Sinon, la loi :
P(X=0) = (n-2)³/n³ P(X=1) = 6(n-2)²/n³ P(X=2) = 12(n-2)/n³ P(X=3) = 8 .

Pour l'espérance, je n'ai pas trouvé autre chose que la formule E(X²) - (E(X))² . V(X) = 6(n-2)/n² .

Sylvieg :: oui ... j'ai la même chose ...

je crus que ce fut plus compliqué que ça ... ce n'est que du comptage ...

un bon exercice d'intro aux variables aléatoires ... sans trop de difficultés calculatoires

et qui associe de la géométrie dans l'espace (le cube), des proba (la question), un peu de calcul littéral, et des limites de suites

cinq thèmes du programme de première-terminale dans un seul exercice ... les IA vont être contents !!!

bonjour,
>>carpediem

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j'avais  voulu répondre il y a un moment mais mon message a encore été rejeté!
il me semble que  cet exercice a déja été posé il y a quelques années
si n=2  les 8  petits cubes  ont 3 faces de peintes X()={3}
la variable est certaine et V(X)=0

veleda  ::  oui le cas n = 2 est un cas particulier qui se retrouve dans le cas général ...

Et le cas n=1

Suite,
En réalité ,j'ai voulu savoir qu'elle était la probabilité de trouver des mini cubes
à face colorée issus d'un cube(dé ) initial entièrement peint .
Le dé est découpé  en n ³ minis  et j'arrive à une probabilité de 1/n (et non n comme
je l'avais écrit).

Remarque quid de l'évolution des mini cubes issus des  8 sommets initiaux.....
ce qui doit perturber mon approche par la surface peinte....

Bonjour,
@dpi,
Je crois avoir compris que tu cherches la probabilité qu'un petit cube ne soit pas vierge de peinture.
Autrement dit : P(X0) .
Le nombre total de petits cubes est n³.
Le nombre de petits cubes sans aucune face à l'extérieur au moment de la peinture est (n-2)³ .
P(X0) = 1 - P(X=0) = 1 - (n-2)³/n³ .

Aux autres intervenants,
Une idée de cheminement simple pour la variance vous est-elle venue ?

Pour n = 1 , une seule valeur pour X : 6 .
D'où P(X=6) = 1 E(x) = 6 V(X) = 0 .

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Seul le résultat E(x) = 6/n reste valable.

Bonjour,

une méthode pour obtenir l'espérance sans calculs:

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On numérote les faces d'un petit cube de 1 à 6 et on pose si la face n° est colorée, 0 sinon.
On a .

Par suite et puisque est la somme des on obtient .

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mais il faut aussi calculer la covariance du couple .

Pour , si les faces n° et sont voisines, sinon.
On en déduit que si les faces n° et sont voisines, sinon.

Par suite,

Bonjour,
Les IA vont être contents, une notion de plus : somme de variables aléatoires
Une variante (sans variance) :

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On peint les 6 faces de 6 couleurs différentes, jaune, rouge, bleu, vert, orange, marron.
On note J la variable égale au nombre de face peinte en jaune d'un petit cube.
J peut prendre 2 valeurs : 0 et 1 .
P(J=1) = n²/n³ = 1/n et E(J) = 1/n .

Idem pour les autres couleurs, et E(J+R+B+V+O+M) = 6/n .