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Probabilité

Posté par
Ilo2
05-05-21 à 16:19

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice. Merci d'avance pour votre aide. Voici l'énoncé :

Une urne contient trois boules rouges et n boules blanches avec n>=2. On tire successivement, sans remise, deux boules de l'urne.
On définit les évènements suivants:
R1: « la première boule tirée est rouge »
B1: « la première boule tirée est blanche »
R2: « la seconde boule tirée est rouge »
B2: «  la seconde boule tirée est blanche »

1- Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré

Voici ce que j'ai fais:

Probabilité

2- Exprimer en fonction de n la probabilité des événements suivants
M: « Les deux boules sont de la même couleur »
N: « Les deux boules sont de couleurs différentes »

3- On sait que P(M)=1,6P(N)
A) Établir que P(M)=1,6P(N) <-> n2-10,6n+6/ (n+2)(n+3)=0

B) Déterminer alors le nombre de boules blanches dans l'urne.

Je suis perdue à ces deux questions. Merci

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 16:37

bonjour,

ton arbre n'est pas correct.

d'abord, tu tires une boule : elle est soit blanche (B1), soit rouge (R1).
ensuite, à partir de là,   tu en tires une deuxième, qui est soit blanche (B2), soit rouge (R2).

refais ton arbre, montre moi.
s'il est correct, on le complétera avec les probas.  

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 05-05-21 à 17:24

Je ne suis vraiment pas sûr...


Probabilité

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 17:29

tu te trompes,  je ne suis pas sûre que tu lises bien ce que je t'écris..

allons y  par étape :
d'abord, tu tires une boule : elle est soit blanche (B1), soit rouge (R1).

comment tu dessines ça ?

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 17:46

tu n'es plus là, apparemment. Je m'absente.

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 18:43

tu en es où ?

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 05-05-21 à 20:23

Excusez-moi j'ai eu des problèmes internet.

Probabilité

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 20:29

oui, c'est mieux. (note que R2 barre, c'est  B2   et que  B2barre, c'est R2)

il faut à présent ponderer ton arbre : noter les probas sur les branches.

1er tirage :   quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?  
p(R1)=nombre de boules rouges /  nombre total de boules
p(R1) = ??

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 05-05-21 à 20:32

P(R1)= 3/5

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 20:34

tu dis qu'il y a 5 boules en tout ? ça n'est pas ça.
on a 3 boules rouges et  n boules blanches, donc   (n+3)  en tout..
p(R1)=  ?

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 05-05-21 à 20:37

P(R1)=3/3+n

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 20:38

oui, avec des parenthèses, stp.
p(R1)  =  3/(3+n)  
et
p(B1) =  ??

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 05-05-21 à 20:40

P(B1)= n/(3+n)

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 20:43

OK,
on a donc les probas à écrire sur les deux premières branches (celles du 1er tirage).

à présent, la suite.
2ème tirage  :   il reste combien de boules en tout ?
si on tiré une boule rouge, il en reste combien ?
donc p(R2) après R1   =  ?

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 05-05-21 à 20:46

P(R2)=2/(3+n)

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 20:54

Ilo2,
tu ne lis pas bien mes messages, je crois :
2ème tirage  :   il reste combien de boules en tout ?
il y en avait   n+3,   on en a retiré une , il en reste n+2

sur la branche qui va de R1 à R2, p= 2/(n+2)

sur la  branche qui va de R1 à  R2barre  :
on a tiré une boule rouge, il reste donc   n boules blanches
p= n/(n+2)

tu es d'accord ?

essaie de trouver les probas sur la partie basse de ton arbre.
on a tiré une boule blanche,   il en reste combien ?
de B1 à B2, p= ?

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 05-05-21 à 21:00

Oui, autant pour moi.

P=n-1/(3+n)?
Je retire aussi la boule blanche sur dénominateur ?

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 21:03

avec des parenthèses !
il reste (n-1)  boules blanches,  et  bien sûr  il reste (n+2)  en tout  (on l'a vu.   Il ne peut pas y en avoir n+3 au deuxième tirage).
p=(n-1)/(n+2)    entre B1 et B2

et entre B1 et  B2barre ?
il reste 3 boules rouges...    p= ?

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 05-05-21 à 21:15

P=3/(n+1)

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 21:22

non,  3/(n+2)   ...    je suppose erreur de frappe. (?)

donc on obtient l'arbre suivant

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 21:23

le voici :

Probabilité

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 05-05-21 à 21:29

Oui, excusez moi je voulais mettre (n+2) 😅

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 21:33

OK, on a maintenant un arbre pondéré. As tu compris comment il a été construit, et pourquoi l'arbre que tu avais proposé au début ne marchait pas ?
Avec cet arbre correct, tu vas pouvoir répondre à la question suivante ;
"deux boules de même couleur"  :  deux rouges  ou  deux blanches.

p(M) = ?

Posté par
Leile
re : Probabilité 05-05-21 à 22:18

tu ne réponds plus       je quitte.

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 06-05-21 à 10:03

Bonjour,

P(M)= R1 inter R2
P(M)= p(R1)* PR1(R2)
P(M)= 3/(n+3)*2/(n+2)

Posté par
Leile
re : Probabilité 06-05-21 à 13:59

encore des problèmes d'internet hier soir ?
Quand tu décides de ne plus répondre, dis le. C'est correct.

pour p(M), tu n'as pas lu mon message d'hier à 21:33 :

deux boules de même couleur"  :  deux rouges ou  deux blanches.

toi, tu dis que M : deux rouges uniquement.

Je te laisse corriger et poursuivre.
A+

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 08-05-21 à 10:18

Bonjour,

Est-ce que c'est possible d'avoir ça?

P(M)=(R1interR2)U(B1interB2)
P(M)=(3/(n+3)*2/(n+2))U(n/(n+3)*(n-1)/(n+2))

Posté par
Leile
re : Probabilité 08-05-21 à 12:48

Bonjour,

je ne comprends pas comment tu travailles : comment arrives tu à te concentrer sur un exercice, en tapant un message par jour ?
On n'arrive pas à avoir un réel échange dans ces conditions.
tu arrêtes de répondre sans prévenir, c'est désagréable, mais ça arrive. Tu prends ainsi le risque que je ne sois plus disponible le jour et à l'heure où tu reviendras, et de n'avoir, à ton tour, plus aucune réponse.


pour p(M), en première, tu sais multiplier des fractions, n'est ce pas ?
U Union ==> quand tu calcules les probas, écris plutôt "+"

p(M) = \frac{3}{n+3} * \frac{2}{n+2} + \frac{n}{n+3} * \frac{n-1}{n+2}

p(M)  =  \frac{6}{(n+2)(n+3)} + \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+3)}

p(M) = \dfrac{6 + (n(n-1))}{(n+2)(n+3)}  

tu peux aussi développer le numérateur..

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 08-05-21 à 13:04

J'ai rencontré des difficultés ces derniers jours mais cela est réglé.
Merci pour vos aides.

P(M)= 6+n^2-n/(n+2)(n+3)

Pour P(N) ,
P(N)= (R1interR2barre) + (B1interB2barre)
P(N)= 3/(n+3)*n/(n+2) + n/(n+3)*3/(n+2)
P(N)= (3n/(n+3)(n+2)) + (3n/(n+3)(n+2))
P(N)= 6n/(n^2+5n+6)

Posté par
Leile
re : Probabilité 08-05-21 à 13:17

"P(M)= 6+n^2-n/(n+2)(n+3)"  

tu refuses  de  mettre les parenthèses indispensables ?

p(M) = \frac{(n²-n+6)}{(n+2)(n+3)}

"P(N)= 6n/(n^2+5n+6)"   oui

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 08-05-21 à 13:22

Oh oui désolée :/

Donc je m'en sert pour faire la 3?

Posté par
Leile
re : Probabilité 08-05-21 à 13:47

oui, bien sûr.

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 08-05-21 à 13:56

D'accord je reviens vers vous dès que j'ai une piste

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 08-05-21 à 19:11

Excusez moi , j'ai essayé plusieurs trucs mais je n'y arrive pas.

P(M)=1,6P(N), revient à faire ça
(n^2-n+6)/(n+2)(n+3)= 1,6*(6n)/(n^2+5n+6) ?

Posté par
Leile
re : Probabilité 08-05-21 à 19:22

oui, je ne vois pas ce qui te bloque ..
p(M) = \frac{(n²-n+6)}{(n+2)(n+3)}

p(N) = \frac{6n}{(n+2)(n+3)}

PM = 1,6 p(N)  :

\dfrac{(n²-n+6)}{(n+2)(n+3)}  =    1,6 * \dfrac{6n}{(n+2)(n+3)}

\dfrac{(n²-n+6)}{(n+2)(n+3)}       -1,6 * \dfrac{6n}{(n+2)(n+3)} = 0

etc..

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 08-05-21 à 19:38

En faite je me suis juste perdu dans les calculs

(n^2-n+6)-1,6*6n/(n+2)(n+3)=0
n^2-10,6n+6/(n+2)(n+3)=0

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 08-05-21 à 19:39

Pour la dernière question on résout l'équation?

Posté par
Leile
re : Probabilité 08-05-21 à 20:02

Ilo2 @ 08-05-2021 à 19:38

(n^2-n+6)-1,6*6n/(n+2)(n+3)=0
n^2-10,6n+6/(n+2)(n+3)=0

une fraction est nulle quand son numérateur est nul...
d'où   n² -10,6n + 6 = 0

Pour la dernière question on résout l'équation?
à ton avis ?

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 08-05-21 à 20:17

Oui...

n^2-10,6n+6 est un trinôme du second degré
Delta= b^2-4ac
Delta=(-10,6)^2-4*6
Delta= 88,36

X1= -b-racine de 88,36/2a
X1= 10,6-racine de 88,36/2
X1=3/5

Et

X2= 10,6+ racine de 88,36/2
X2= 10


Nous savons que n boules blanches : n>=2 donc il y a 10 boules blanches dans l'urne.

Posté par
Leile
re : Probabilité 08-05-21 à 20:21

oui, c'est juste !

Posté par
Ilo2
re : Probabilité 08-05-21 à 20:29

Merci infiniment de vos aides. Passer une bonne soirée.

Posté par
Leile
re : Probabilité 08-05-21 à 20:32

bonne soirée à toi aussi.



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