Niveau Licence Maths 1e ann

probabilite

Posté par
moimath 19-02-22 à 17:39

Bonjour,
merci de m'aider pour l'exo suivant:
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes gaussiennes,centrées et réduites.

$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\Pi }}exp(-\frac{x^2}{2})$

$p(y)=\frac{1}{\sqrt{2\Pi }}exp(-\frac{y^2}{2})$

1)Monter que la loi conjointe du couple de variable (X,Y) est
$p(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\Pi }}exp(-\frac{(x^2+y^2)}{2})$
2)on fait un changement de variable(de coordonnées cartésiennes en polaires)
$R=\sqrt{x^2+y^2}$
sur [0, infini [
$\theta =arctg(\frac{y}{x} )$
$\theta [0,2\Pi [$
Calculer la loi associee au couple de variable (R, $\theta$ )
notee q(r, $\theta$ )
3)Calculer les densites marginales des variables R et $\theta$ ,respectivement q(r) et q( $\theta$ )

reponse
1)J'arrive a montrer que p(x)*p(y)=P(x,y)
2)la loi associee je trouve
$q(r,\theta )=p(x,y)*Jacobien\frac{(x,y)}{(R,\theta )}=\frac{1}{R}$
3) $q(r)=\int_{0}^{2\Pi }{\frac{1}{2\Pi R}exp(\frac{-R^2}{2})}d\theta =\frac{1}{R}exp(\frac{-R^2}{2})$
$q(\theta )=\int_{0}^{\propto }{\frac{1}{2\Pi R}exp(\frac{-R^2}{2})}dr =1/2$

Posté par re : probabilite 20-02-22 à 15:59

Bonjour,

Il est vraiment indiqué $\theta=\arctan(y/x)$ dans ton énoncé ?
J'ai du mal à le croire, ça serait une grosse erreur.
De même j'ai du mal à croire qu'il y a un $\sqrt{2\pi}$ dans l'expression de $p(x,y)$ . Une erreur de recopie de ta part ?

Ton expression de $q(R,\theta)$ ne va pas. Reprends ton calcul.

Posté par re : probabilite 20-02-22 à 17:00

Bonjour,
encore merci
oui je me suis trompe c'est bien:

$p(x.y)=\frac{1}{2\Pi }exp(\frac{-(x^2+y^2)}{2})$

$q(r,\theta )=p(x,y)*Jacobien\frac{(x,y)}{(R,\theta )}=\frac{R}{2\Pi }exp(\frac{-R^2}{2})$

$q(r)=\int_{0}^{2\Pi }{\frac{1}{2\Pi R}exp(\frac{-R^2}{2})}d\theta =Rexp(\frac{-R^2}{2})$

$q(\theta )=\int_{0}^{\propto }{\frac{R}{2\Pi }exp(\frac{-R^2}{2})}dr =\frac{1}{2\Pi }$

Posté par re : probabilite 20-02-22 à 17:09

C'est mieux comme ça.
C'est moral d'avoir une loi uniforme sur $\theta$ .

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