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Probabilité.

Posté par
matheux14 07-01-23 à 17:20

Bonjour,

Merci d'avance.

Des statistiques sur le cheptel équestre d'un pays ont montré que le quart des chevaux a été vacciné contre la maladie du charbon. La probabilité d'avoir un cheval vacciné sachant qu'il est malade est de 1/13. Et de plus, la probabilité d'avoir un cheval malade sachant qu'il est vacciné est égale à 1/10. On choisit au hasard un cheval de ce cheptel. On notera : M l'événement :
”avoir un cheval malade” et V l'événement : ”avoir un cheval vacciné”.

1. Calculer la probabilité p(M \cap V). En déduire p(M).

2. Calculer la probabilité d'avoir un cheval malade et non vacciné.

3. Calculer la probabilité d'avoir un cheval malade sachant qu'il n'est pas vacciné.

4. Dans cette question, on s'intéresse aux chevaux atteints d'une épidémie et on note E l'événement : ”le cheval est atteint de l'épidémie”. Un joker choisit un à un et de manière indépendante, trois chevaux de ce cheptel. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de chevaux atteints de l'épidémie parmi les trois.

a) Déterminer la valeur maximale de p(X = 2). Pour cette valeur, déterminer p(E).

b) Etablir la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X.

c) Calculer la variance et l'écart type de X.

Pour la 1ère question j'ai p(M \cap V) = p(V) \times p(M / V) = p(V) \times 1/10 et p(V) = p(V / M) = 1/13

Donc p(M \cap V) = 1/10 \times 1/13 = 1/130

p(M) = \dfrac{p(M \cap V)}{p(V)} = 1/10

2) p(M \cap \overline{V}) = p(M) \times p(\overline{V}) = 1/10 \times (1 - p(V)) = \dfrac{6}{65}

3) p(\overline{V}) \times p(M / \overline{V}) = p(M \cap \overline{V})

p(M / \overline{V}) = \dfrac{p(M \cap \overline{V})}{p(\overline{V})} = \dfrac{\frac{6}{65}}{1 - \frac{1}{13}} = 1/10

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 07-01-23 à 18:01

Bonjour,

Pour la question 1) il faut préciser que les évènements M et V sont indépendants pour présenter votre calcul.
Vous n'avez pas finalisé le calcul de P(M). Une question : que vaut P(V)?

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 07-01-23 à 18:04

votre énoncé dit " le quart des chevaux a été vacciné contre la maladie du charbon"

Posté par
matheux14re : Probabilité. 07-01-23 à 18:18

Donc p(V) = 1/4

1) Les événements M et V sont indépendants donc p(M \cap V) = p(V) \times p(M) = p(V) \times 1/10 et p(V) = 1/4

Donc p(M \cap V) = 1/40

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 07-01-23 à 18:38

oui P(V)=1/4
l'indépendance est votre hypothèse,rien est dit dans l'énoncé.
P(MV)=P(V)xP(M) est-ce vrai?

De votre énoncé on déduit les formules sont les suivantes :
PM(V)=P(MV)/P(M)=1/13
PV(M)=P(MV)/P(V)=1/10
Il faut trouver P(MV) et P(M) en fonction des données de l'énoncé.

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 07-01-23 à 18:42

oui P(MV)=1/40

Posté par
matheux14re : Probabilité. 07-01-23 à 18:54

*p_V (M) = p(M \cap V)/p(V) = 1/10

p(M \cap V) = p(V) \times 1/10 = 1/4 \times 1/10 = 1/40

*p_M(V) = p(M \cap V)/p(M) = 1/13

p(M) = p(M \cap V)/(1/13)

p(M) = p(M \cap V) \times 13 = 13/40

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 07-01-23 à 18:58

pour moi c'est correct, sauf erreur de ma part.
Pour les autres questions, vous avez là encore fait l'hypothèse d'indépendance de M et \bar V.  Il faut revoir vos calculs

Posté par
matheux14re : Probabilité. 08-01-23 à 07:45

Ok, je vais essayer la question 4)

Posté par
matheux14re : Probabilité. 08-01-23 à 13:00

La 2e question revient à calculer p(M \cap \overline{V})

D'après l'énoncé, p(\overline{V}) = 1 - p(V) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}

* p_{\overline{V}}(M) = \dfrac{p(M \cap \overline{V})}{p(\overline{V})} \Longrightarrow p(M \cap \overline{V}) = p_{\overline{V}}(M) \times p(\overline{V})

Comment calculer p_{\overline{V}}(M) ?

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 08-01-23 à 18:15

regarder dans votre cours vous devez avoir les formules suivantes :
En utilisant la partition {A,\bar A} quels que soient les événements Aet B :

P(B)=P(A∩B)+P(\bar A∩B)

P(B)=p(A)×PA(B)+P(\bar A)×P\bar A(B)

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 08-01-23 à 19:24

Autre chose :  V et M  sont des événements qu'on ne peut pas qualifier d'incompatibles (=indépendants) (car ils  peuvent  réaliser simultanément);

Posté par
matheux14re : Probabilité. 08-01-23 à 19:42

Je n'ai pas cette formule dans mon cours.

Posté par
matheux14re : Probabilité. 08-01-23 à 19:51

phyelec78 @ 08-01-2023 à 19:24

Autre chose :  V et M  sont des événements qu'on ne peut pas qualifier d'incompatibles (=indépendants) (car ils  peuvent  réaliser simultanément);


D'accord, du coup on ne peut pas avoir p(M \cap V) = p(M) \times p(V)

Posté par
matheux14re : Probabilité. 08-01-23 à 19:55

Pour la 4e question, je ne vois pas comment faire ?
Je n'ai pas compris les variables aléatoires..

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 08-01-23 à 19:59

Bizarre.Elle se déduit d'une formule des probabilités généralisées pour n=2
dans votre cas vous avez donc :

P(\bar V M)=P(M)-P(M V)

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 08-01-23 à 20:04

je crois que cette formule est au programme de la classe de terminale.

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 08-01-23 à 20:09

on ne peut pas écrire P(M V)=P(M)xP(V) car V et M ne sont pas indépendants : on peut être malade et vacciné (exemple : le covid).
Deux évènements sont indépendants s'il ne peuvent pas se produire en même temps. Ce qui n'est pas le cas pour les évènements  M et V

Posté par
matheux14re : Probabilité. 08-01-23 à 20:38

D'accord, je comprends mieux maintenant.

Posté par
Vassilliare : Probabilité. 08-01-23 à 21:18

Bonjour,

phyelec78 @ 08-01-2023 à 20:09

Deux évènements sont indépendants s'il ne peuvent pas se produire en même temps.

Euh non, deux évènements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Deux évènements sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de réalisation de l'autre. D'ailleurs si des événements sont incompatibles alors ils ne sont pas indépendants (sauf si l'un d'entre eux est impossible).
L'exemple du covid reste valable car le fait d'être vacciné change la probabilité de tomber malade donc les événements ne sont pas indépendants.

Pour résumé :
-indépendants P(M\cap V)=P(M)P(V)
-incompatibles P(M\cap V)=0

Posté par
verdurinre : Probabilité. 08-01-23 à 21:22

Bonsoir.
Je me permets une correction :
deux événements A et B sont  indépendants quand P(AB) = P(A)P(B) ;
deux événements A et B sont  incompatibles quand « ils ne peuvent pas se produire en même temps ».

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 09-01-23 à 15:29

@Vassilia et @verdurin

Vous avez raison, en voulant expliquer à Mathieux4 j'ai manqué de discernement. Merci de l'avoir vu et de l'avoir rectifié.

Posté par
matheux14re : Probabilité. 09-01-23 à 16:40

2) Se résume en :

Calculer p(M \cap \overline{V})

p_{\overline{V}}(M) = \dfrac{p(M \cap \overline{V})}{p(\overline{V})} \Longrightarrow p(M \cap \overline{V}) = p_{\overline{V}}(M) \times p(\overline{V})

Or p(V) = \dfrac{1}{4} \Longrightarrow p(\overline{V}) = 1 - p(V) = \dfrac{3}{4}.

En utilisant la partition \{V, \overline{V}\}, peu importe les événements M et V, on a :

p(M) = p(V \cap M) + p(\overline{V} \cap M)

p(M) = p(V) \times p_{V}(M) + p(\overline{V}) \times p_{\overline{V}}(M)

\Longrightarrow p_{\overline{V}}(M) = \dfrac{p(M) - p(V) \times p_V (M)}{p(\overline{V})}

p_{\overline{V}}(M) = \dfrac{\frac{13}{40} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{\frac{3}{4}} = \dfrac{2}{5}

\Longrightarrow p(M \cap \overline{V}) = p_{\overline{V}}(M) \times p(\overline{V}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{10}

\boxed{p(M \cap \overline{V}) = \dfrac{3}{10}}

Posté par
matheux14re : Probabilité. 09-01-23 à 16:44

3) \boxed{p_{\overline{V}}(M) = \dfrac{2}{5}}

(Voir question 2. de la ligne 6 à ligne 9)

Posté par
matheux14re : Probabilité. 09-01-23 à 18:20

Comment résoudre la question 4) ?

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 09-01-23 à 20:48

je trouve la même chose que vous les questions 2 et 3. Sauf erreur de ma part.
Toutefois pour la question 2) vous aviez calculé lors de la question 1)  P(M V) et P(M), vous pouviez donc directement calculer P(\bar V M) =P(M)-P(M V)

Question 4) je crois comprendre qu' il a 3 tirages successifs(3 expériences) : à chaque fois on a : soit un cheval atteint de l'Épidémie soit un cheval sain.
Regardez parmi les Loi usuelle celle qui pourrait correspondre.

Posté par
verdurinre : Probabilité. 09-01-23 à 20:48

Bonsoir,
j'ai l'impression que la question 4) est indépendante des questions précédentes.
En tout état de cause elle est bizarre.

Je te donne mon interprétation qui n'est pas forcément la bonne.
Un cheval a une probabilité P(E)=p d'être atteint par l'épidémie.
Le jockey n'a aucun moyen de savoir si un cheval est atteint ou pas.
Il choisit 3 chevaux et X est la  variable aléatoire donnant le nombre de chevaux atteints.

À partir d'ici je réécris l'énoncé.

a) Quelle est la loi suivie par X ? c'est une loi binomiale

b) Quelle est la valeur de p telle que P(X=2) soit maximale ? Quelle est alors la valeur de P(X=2) ?

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 09-01-23 à 20:50

Regardez parmi les Lois usuelles celles qui pourraient correspondre.

Posté par
phyelec78re : Probabilité. 09-01-23 à 20:52

@verdurin, nos postes se sont croisés. Pourriez-vous prendre le relai. Je manque de disponibilité ce soir. Cordialement phyelec78

Posté par
matheux14re : Probabilité. 10-01-23 à 18:21

verdurin @ 09-01-2023 à 20:48

Bonsoir,
j'ai l'impression que la question 4) est indépendante des questions précédentes.
En tout état de cause elle est bizarre.

Je te donne mon interprétation qui n'est pas forcément la bonne.
Un cheval a une probabilité P(E)=p d'être atteint par l'épidémie.
Le jockey n'a aucun moyen de savoir si un cheval est atteint ou pas.
Il choisit 3 chevaux et X est la  variable aléatoire donnant le nombre de chevaux atteints.

À partir d'ici je réécris l'énoncé.

a) Quelle est la loi suivie par X ? c'est une loi binomiale

b) Quelle est la valeur de p telle que P(X=2) soit maximale ? Quelle est alors la valeur de P(X=2) ?


Je suis d'accord avec vous.

Mais comment répondre à la question b) ?

Posté par
verdurinre : Probabilité. 10-01-23 à 18:55

On est d'accord sur le fait que X suit une loi binomiale de paramètres 3 et p.
On peut alors écrire P(X=2) en fonction de p.
Une simple étude de fonction permet alors de trouver pour quelle valeur de p la fonction pP(X=2) atteint son maximum sur [0;1] et la suite est facile.

Posté par
matheux14re : Probabilité. 10-01-23 à 19:28

Citation :
On est d'accord sur le fait que X suit une loi binomiale de paramètres 3 et p.
On peut alors écrire P(X=2) en fonction de p.


Oui, mais comment exprimer P(X = 2) en fonction de p ?

Posté par
verdurinre : Probabilité. 10-01-23 à 19:58

En principe, si Y suit une loi binomiale de paramètres n et p, tu devrais connaître la formule donnant P(Y=k) en fonction de n, p et k.
Il suffit de l'appliquer en remplaçant n par 3 et k par 2.

Posté par
matheux14re : Probabilité. 11-01-23 à 00:18

P(X = 2) = C^2_3 p^2 (1 - p)^{3 - 2} = 3p^2(1 - p)

P(X = 2) est maximale pour p = \dfrac 4 9

On a alors P(X = 2) = 3\left(\dfrac 4 9\right)^2\left(1 - \left(\dfrac 4 9\right)\right) = \dfrac{80}{243}

Posté par
matheux14re : Probabilité. 11-01-23 à 01:36

La question b) de l'énoncé initial devient donc

c) Etablir la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X.

Soit 1 des 3 chevaux choisis est atteint, soit 2 le sont, soit 3.

\setlength{\tabcolsep}{1cm} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3\\ \hline p(X = x) & 100/243 & 80/243 & \\ \hline \end{tabular}

Je ne vois pas comment trouver p(X = 3)
p(X = 3) = p^3

La dérivée ne s'annule pas sur ]0, 1[.

Comment faire ?

Posté par
verdurinre : Probabilité. 11-01-23 à 10:06

Je ne suis pas d'accord avec

Citation :
P(X = 2) est maximale pour p = \dfrac 4 9

Par exemple en prenant p=\dfrac59 on a P(X=2)=\dfrac{100}{243}> \dfrac{80}{243}

Soit tu t'es trompé en calculant la dérivée, soit tu t'es trompé en étudiant son signe.

Pour la suite tous les calculs se font en prenant la valeur de p que l'on a trouvée à la question (b).

Posté par
matheux14re : Probabilité. 11-01-23 à 10:23

Je ne vois pas d'erreur.

La dérivée s'annule en 0 et 2/3 et positive sur [0, 2/3] et négative sur [2/3; 1]

Et 3×(2/3)²(1-2/3) = 4/9

Posté par
verdurinre : Probabilité. 11-01-23 à 10:33

Je suis bien d'accord avec toi pour la dérivée et son signe.
Tu trouves donc que P(X=2) est maximale pour p=2/3 et que, dans ce cas, P(X=2)=4/9.

Pour la suite on fait les calculs demandés en prenant p=2/3.
En fait tu as confondu p et P(X=2).

Posté par
matheux14re : Probabilité. 11-01-23 à 10:47

Ah oui je vois

Posté par
matheux14re : Probabilité. 11-01-23 à 11:21

Citation :
Pour la suite on fait les calculs demandés en prenant p=2/3.


Je ne vois pas comment le faire avec p = 2/3..

Posté par
verdurinre : Probabilité. 11-01-23 à 12:09

La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=2/3.
Tu utilises les formules que tu connais

Posté par
matheux14re : Probabilité. 11-01-23 à 16:20

* p(X = 1) = C^1_3 \left(\dfrac 2 3\right)^1 \left(1 - \dfrac 2 3\right)^{3 - 1}

p(X = 1) = \dfrac{2}{9}

* p(X = 2) = \dfrac{4}{9}

* p(X = 3) = C^3_3 \left(\dfrac 2 3\right)^3 \left(1 - \dfrac 2 3\right)^{3 - 1}

p(X = 3) = \dfrac{8}{27}

Qu'on résume dans ce tableau

\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $x$ & 1 & 2 & 3\\ \hline p($X = x$) & 2/9 & 4/9 & 8/27 \\ \hline \end{tabular}

L'espérance \mathbb{E}(X) = n p = 3 \times \dfrac 2 3 = 2

\boxed{\mathbb{E}(X) = 2}

c) qui devient d) * La variance

V(X) = np(1 - p) = 3 \times \dfrac{2}{3} \left(1 - \dfrac 2 3\right) = \dfrac 2 3

\boxed{V(X) = \dfrac 2 3}

* L'écart-type :

\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \dfrac{\sqrt 6}{3}

\boxed{\sigma(X) = \dfrac{\sqrt 6}{3}}

Posté par
verdurinre : Probabilité. 11-01-23 à 16:48


C'est ça, il manque juste P(X=0).

On peut démontrer que si X suit une loi binomiale de paramètres n et p et si k est un entier entre 0 et n alors la valeur de P(X=k) est maximale pour p=k/n.

Posté par
matheux14re : Probabilité. 11-01-23 à 17:07

Ah oui, j'ai oublié le cas 0 des 3 chevaux tirés est atteint par l'épidémie et de vérifier que \sum p(X = x) = 1

Donc soit 0 atteint

1 atteint

2 atteints

3 atteints

Le support de notre variable aléatoire est donc : S(X) = \{0, 1, 2, 3\}

La loi de probabilité de X :

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline p($X = x$) & 1/27 & 2/9 & 4/9 & 8/27 \\ \hline \end{tabular}

Posté par
verdurinre : Probabilité. 11-01-23 à 17:23

Posté par
matheux14re : Probabilité. 11-01-23 à 17:43

Citation :
On peut démontrer que si X suit une loi binomiale de paramètres n et p et si k est un entier entre 0 et n alors la valeur de P(X=k) est maximale pour p=k/n.


P(X = k) = C^k_n p^k (1 - p)^{n - k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}p^k (1 - p)^{n - k}

Posons \varphi(x) = \dfrac{n!}{k!(n - k)!} x^k (1 - x)^{n - k}

Soit \varphi'(x) =- \dfrac{n!x^{k - 1}(1 - x)^{n - k - 1}(n x - k)}{k!(n - k)!}

Pour \varphi'(x) = 0 \iff  x = \dfrac{k}{n}

Je vais voir la suite..

Posté par
verdurinre : Probabilité. 11-01-23 à 18:13

C'est juste.
Une remarque sur tes calculs :

On a P(X = k) =\mathsf{C}^k_n p^k  (1 - p)^{n - k} = \mathsf{C}^k_n f(p).

Comme \mathsf{C}^k_n>0 pour k\in\{0, 1,\dots, n\} on étudie les variation de la fonction f définie sur [0 ; 1] par x\mapsto x^k (1 - x)^{n - k} ce qui évite de traîner des \frac{n!}{k!(n - k)!} qui encombrent inutilement le calcul.


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