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Probabilité

Posté par
Mathes1 06-03-23 à 09:00

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance :
Un tiroir contient 4 paires de chaussettes noires, 3 paires de chaussettes rouge et une paire de chaussettes grises.Toutes ces chaussettes sont mélangées. On choisit au hasard et simultanément 2 chaussettes dans ce tiroirs.
1) Quel est la probabilité pour que ces 2 chaussettes soient de même couleur ?
•Soit A l'événement="2 chaussettes de même couleur"
P(A)=\dfrac{\binom{8}{2}+\binom{6}{2}+\binom{2}{2}}{\binom{16}{2}}=\dfrac{11}{30}

2) Quel est la probabilité pour que ces 2 chaussettes soient issues de même paire ?
•Soit B l'événement="2 chaussettes de même paire"
P(B)=\dfrac{card(B)}{card(\Omega)}=\dfrac{8}{28}

3) Quel est la probabilité Pour que ces 2 chaussettes soient de même couleur,mais ne proviennent pas de même paire ?
P(A/Bc)=PBc(A)
Merci beaucoup

Posté par
GBZMre : Probabilité 06-03-23 à 09:22

Bonjour,
Seule la première réponse est bonne.
Pour la 2 : combien y a-t-il de paires de chaussetes ? Combien de façons de tirer 2 chaussettes dans le tiroir ?
Pour la 3 : ce n'est pas une probabilité conditionnelle qui est demandée.

Posté par
Mathes1re : Probabilité 06-03-23 à 09:48

D'accord
Pour 2 si je comprends bien on a 4 paires de chaussettes noires, 3 paires de chaussettes noires et une paire de chaussettes grises
•soit 2 chaussettes noires parmi 4
Soit 2 chaussettes rouge parmi 3
Soit 1 chaussettes grises parmi 1
Merci beaucoup

Posté par
GBZMre : Probabilité 06-03-23 à 10:28

Non, tu ne comprends pas bien. *
Je répète mes questions auxquelles tu ne réponds pas :
Combien y a-t-il de paires de chaussettes dans le tiroir ? (très simple, inutile de chercher midi à quatorze heures, la réponse est pratiquement dans l'énoncé)
Combien de façons de tirer simultanément 2 chaussettes dans le tiroir ?
Je rappelle que ce qui est demandé est la probabilité de tirer les deux chaussettes d'une même paire quand on tire simultanément deux chaussettes au hasard dans le tiroir.

Posté par
Mathes1re : Probabilité 06-03-23 à 12:46

Bonjour
Il y a en tout 4 + 3 + 1 = 8 paires de chaussettes dans le tiroir
Le nombre de paires de chaussettes identiques est la somme des paires de chaussettes noires, rouges et grises. Comme il y a 4 paires de chaussettes noires et 3 paires de chaussettes rouges, il y a un total de 4 + 3 = 7 paires de chaussettes identiques.
On ne peut pas choisir deux chaussettes grises identiques car il n'y a qu'une seule paire de chaussettes grises dans le tiroir
Donc P(B)=\dfrac{7}{8}
Merci beaucoup

Posté par
GBZMre : Probabilité 06-03-23 à 14:50

Non, là c'est un peu n'importe quoi ! Rlis l'énoncé soigneusement et reprends-toi !

Posté par
Mathes1re : Probabilité 06-03-23 à 17:29

Bonjour
Il y a en tout 4 + 3 + 1 = 8 paires de chaussettes dans le tiroir. Pour chaque paire, il y a 2 chaussettes identiques. Ainsi, il y a en tout 2 × (4 + 3 + 1) = 16 chaussettes dans le tiroir.

Pour choisir 2 chaussettes au hasard et simultanément dans le tiroir, il y a C(16, 2) = (16 × 15) / (2 × 1) = 120 façons possibles.

Pour que les deux chaussettes soient issues de la même paire, il y a deux cas possibles :

On choisit les deux chaussettes d'une même paire de chaussettes noires. Il y a C(4, 1) = 4 façons de choisir la paire de chaussettes noires, et ensuite C(2, 2) = 1 façon de choisir les deux chaussettes noires de cette paire. Ainsi, il y a 4 × 1 = 4 façons de choisir les deux chaussettes noires de même paire.
On choisit les deux chaussettes d'une même paire de chaussettes rouges. Il y a C(3, 1) = 3 façons de choisir la paire de chaussettes rouges, et ensuite C(2, 2) = 1 façon de choisir les deux chaussettes rouges de cette paire. Ainsi, il y a 3 × 1 = 3 façons de choisir les deux chaussettes rouges de même paire.
Il n'y a pas d'autre possibilité pour choisir deux chaussettes de même paire, car il n'y a qu'une seule paire de chaussettes grises.

Ainsi, il y a en tout 4 + 3 = 7 façons de choisir deux chaussettes de même paire.

La probabilité de choisir deux chaussettes de même paire est donc de 7 / 120, soit environ 0,0583, ou encore environ 5,83 %.
Merci !

Posté par
GBZMre : Probabilité 06-03-23 à 17:41

Citation :
Il n'y a pas d'autre possibilité pour choisir deux chaussettes de même paire, car il n'y a qu'une seule paire de chaussettes grises.

Ah bon, il est impossible en tirant simultanément deux chaussettes de tirer les deux chaussetes de l'unique paire grise ????
Faire des mthématiques, ça ne veut pas dire exclure le bon sens !
Il y a huit paires de chaussettes dans le tiroir, donc huit façons de tirer les deux chaussettes d'une même paire en tirant deux chaussetttes simultanément. Tout simplement, pas besoin de chercher midi à quatorze heures !

Posté par
Mathes1re : Probabilité 06-03-23 à 17:51

Donc la probabilité pour que ces 2 chaussettes soient issues de même paire est de P(B)=C(8,2)/C(16,2)

Posté par
GBZMre : Probabilité 06-03-23 à 18:11

NON !
Que signifie ce C(8,2) ???
Tu ne tires pas deux paires parmi 8, enfin !

Posté par
Mathes1re : Probabilité 06-03-23 à 18:33

Pourquoi non
P(B)=\dfrac{\binom{8}{2}}{\binom{16}{2}}

Posté par
verdurinre : Probabilité 06-03-23 à 20:24

Bonsoir,
pour donner un autre point de vue :
On a huit paires de chaussettes, on tire une chaussette, il reste quinze chaussettes. Quelle est la probabilité pour que la chaussette tirée complète la paire ?

Posté par
GBZMre : Probabilité 06-03-23 à 21:02

Le problème n'est pas pourquoi non mais pourquoi tu affirmes ça.
Le nombre de combinaisons de 2 parmi 16, c'est bien le nombre de façons de tirer simultanément 2 chaussettes parmi 16.
Mais qu'est-ce que selon toi le nombres de combinaisons de 2 parmi 8 a à voir avec le nombre de possibilités pour que les deux chaussettes tirées simultanément appartiennent à la même paire ?
Encore une fois, c'esty une question de bon sens.

Posté par
Mathes1re : Probabilité 07-03-23 à 08:50

Bonjour

Citation :
Mais qu'est-ce que selon toi le nombres de combinaisons de 2 parmi 8 a à voir avec le nombre de possibilités pour que les deux chaussettes tirées simultanément appartiennent à la même paire ?

La probabilité pour que ces 2 chaussettes soient issues de même paire est de 7/120

Posté par
GBZMre : Probabilité 07-03-23 à 10:10

Tu ne donnes aucun argument et tu serais bien en peine de le faire vu que c'est faux !
As-tu essayé l'approche de verdurin ? Visiblement pas.

On a huit paires de chaussettes :
\large A=\{a_1,a_2\},\ B=\{b_1,b_2\},\ldots,\ H=\{h_1,h_2\}
Le contenu du tiroir est
\large T=A\cup B\cup\cdots\cup H\;,
un ensemble à seize éléments.
Les parties à deux éléments de \large T, il y en a \large C_16^2. Parmi ces parties a deux éléments, il y a les huit paires A, B, \ldots,H : huit, pas sept !
La probabilité de tirer une paire en tirant deux chaussettes simultanément est donc ...

Posté par
GBZMre : Probabilité 07-03-23 à 10:11

Coquille, lire \large C_{16}^2

Posté par
Mathes1re : Probabilité 07-03-23 à 12:20

Bonjour
Donc P(B)=\dfrac{8}{ \large C_{16}^2}=\dfrac{8}{120}

Posté par
GBZMre : Probabilité 07-03-23 à 13:12

As-tu essayé l'approche de verdurin ?
As-tu compris que tes histoires précédentes ne marchaient pas ?

Posté par
Mathes1re : Probabilité 07-03-23 à 18:31

Bonjour
D'accord

Citation :
On a huit paires de chaussettes, on tire une chaussette, il reste quinze chaussettes. Quelle est la probabilité pour que la chaussette tirée complète la paire ?

Après avoir tiré une chaussette, il reste 15 chaussettes, dont 7 paires et une chaussette seule. Pour que la chaussette tirée complète une paire, il faut qu'elle soit de la même couleur que celle déjà tirée.

La probabilité de tirer une chaussette de la même couleur que celle déjà tirée dépend de la couleur de la chaussette déjà tirée.

Si la première chaussette tirée était seule, il y a 8 chaussettes de couleurs différentes dans les 15 restantes, donc la probabilité de compléter la paire est de 0 (impossible).

Si la première chaussette tirée était d'une paire, il reste 14 chaussettes, dont 6 paires et une chaussette seule de la même couleur que celle déjà tirée. La probabilité de compléter la paire est donc de 1/7.

La probabilité totale est la moyenne pondérée des probabilités de compléter une paire sachant que la première chaussette était d'une paire. Comme il y a 8 paires au total, la probabilité totale est :

(1/7) x 8/15 + 0 x 1/15 = 8/105

Donc la probabilité pour que la chaussette tirée complète la paire est de 8/105, soit environ 0,076 ou 7,6%
Je suis perdu

Posté par
GBZMre : Probabilité 07-03-23 à 20:12

Les paires sont différentes. Deux paires de même couleur ont par exemple des motifs différents ou des hauteurs différentes, ce qui fait qu'une chaussette d'une paire ne s'apparie qu'avec l'autre chaussette de la paire. C'est bien comme cela qu'il faut comprendre "issues de même paire" (ce n'est bien sûr pas "de la même couleur" !).

Posté par
Mathes1re : Probabilité 08-03-23 à 11:55

Bonjour

Citation :
La probabilité de tirer une paire en tirant deux chaussettes simultanément est donc

P(B)=\dfrac{\large C_{8}^1}{\large C_{16}^2}=8/120
Je vois pas autre réponse
Merci beaucoup

Posté par
GBZMre : Probabilité 08-03-23 à 13:43

Peux-tu reprendre correctement l'approche de verdurin ? Tu donnes l'impression de n'avoir toujours pas compris le fond du problème.

Posté par
Mathes1re : Probabilité 09-03-23 à 19:42

Bonjour
Oui malheureusement je ne comprends pas le fond du problème je suis désolé

Posté par
GBZMre : Probabilité 10-03-23 à 09:44

Dommage.

Posté par
Mathes1re : Probabilité 11-03-23 à 18:35

Bonjour
Il y a un total de 8 paires de chaussettes dans le tiroir: 4 noires, 3 rouges et 1 grise. La probabilité de choisir une paire particulière de chaussettes est égale au nombre de façons de choisir 2 chaussettes de la même paire divisé par le nombre total de façons de choisir 2 chaussettes parmi toutes les chaussettes dans le tiroir.
Le nombre de façons de choisir 2 chaussettes de la même paire est égal à la somme des carrés du nombre de chaussettes dans chaque paire. Pour les chaussettes noires, il y a 4 paires, donc il y a 16 façons de choisir 2 chaussettes noires. Pour les chaussettes rouges, il y a 3 paires, donc il y a 9 façons de choisir 2 chaussettes rouges. Pour les chaussettes grises, il y a 1 paire, donc il y a 1 façon de choisir 2 chaussettes grises. Le nombre total de façons de choisir 2 chaussettes parmi toutes les chaussettes dans le tiroir est égal à la combinaison de 10 éléments pris 2 à 2, soit 45.
Ainsi, la probabilité que les 2 chaussettes choisies soient issues de la même paire est:
\dfrac{16 + 9 + 1}{45} = \dfrac{26}{45} \approx 0,58
Donc, la probabilité est d'environ 0,58 ou 58%.
Si c'est faux une indication s'il vous plaît merci beaucoup

Posté par
verdurinre : Probabilité 11-03-23 à 20:25

Bonsoir.

Citation :
Il y a un total de 8 paires de chaussettes dans le tiroir: 4 noires, 3 rouges et 1 grise. La probabilité de choisir une paire particulière de chaussettes est égale au nombre de façons de choisir 2 chaussettes de la même paire divisé par le nombre total de façons de choisir 2 chaussettes parmi toutes les chaussettes dans le tiroir.
Ça c'est vrai. On en déduit facilement que la probabilité de tirer une paire particulière est 1/120.
Citation :
Le nombre de façons de choisir 2 chaussettes de la même paire est égal à la somme des carrés du nombre de chaussettes dans chaque paire.
Ça je me demande vraiment pourquoi. On dirait un délire calculatoire. Si on tire deux chaussettes il n'y a qu'une façon de tirer les deux chaussettes de la même paire donnée à l'avance.
La suite de ton calcul continue dans le délire.
La probabilité de tirer les deux chaussettes d'une même paire ne peut évidement pas dépendre de leurs couleurs.

Pour préciser on peut voir les choses comme ça : les paires sont numérotés de 1 à 8 et les deux chaussettes d'une même paire portent le même numéro. Il me semble clair que tirer deux chaussettes ayant le même numéro n'a rien à voir avec la couleur des chaussettes.
Par contre les couleurs interviennent pour la question 3.

Posté par
GBZMre : Probabilité 12-03-23 à 10:01

Mathes1,
On a déjà vu la réponse correcte à la question 2 : \dfrac8{120}=\dfrac1{15} . Mais apparemment les raisonnements qui y aboutissent (que ce soit celui que j'ai proposé ou celui proposé par verdurin) ne te parlent pasp plus que les calculs aberrants que tu continues de produire. C'est pour cela que j'ai l'impression que tu ne maitrises pas la question.

Posté par
Mathes1re : Probabilité 12-03-23 à 12:54

Bonjour
3)Pour que les deux chaussettes soient de la même couleur, mais ne proviennent pas de la même paire, il y a deux possibilités : soit on choisit deux chaussettes noires de paires différentes, soit on choisit deux chaussettes rouges de paires différentes.
Le nombre de façons de choisir deux chaussettes noires de paires différentes est le produit du nombre de façons de choisir une paire de chaussettes noires parmi les quatre paires disponibles (soit 4) et du nombre de façons de choisir une chaussette noire de la paire choisie (soit 2), multiplié par le nombre de façons de choisir une paire de chaussettes noires parmi les trois paires restantes (soit 3). Ainsi, il y a 4x2x3 = 24 façons de choisir deux chaussettes noires de paires différentes.

De même, le nombre de façons de choisir deux chaussettes rouges de paires différentes est le produit du nombre de façons de choisir une paire de chaussettes rouges parmi les trois paires disponibles (soit 3) et du nombre de façons de choisir une chaussette rouge de la paire choisie (soit 2), multiplié par le nombre de façons de choisir une paire de chaussettes rouges parmi les deux paires restantes (soit 2). Ainsi, il y a 3x2x2 = 12 façons de choisir deux chaussettes rouges de paires différentes.

Le nombre total de façons de choisir deux chaussettes parmi les 4 paires de chaussettes noires, 3 paires de chaussettes rouges et une paire de chaussettes grises est le nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 20, soit 20!/(2!*18!) = 190.

Ainsi, la probabilité de choisir deux chaussettes de même couleur, mais ne provenant pas de la même paire est (24+12)/190, soit environ 0,21.
Si c'est faux une indication s'il vous plaît merci beaucoup

Posté par
GBZMre : Probabilité 12-03-23 à 14:15

Ton résultat est faux. Ton explication du nombre de façons de choisir deux chaussettes noires de paires différentes ne va pas, même chose pour les rouges. Et tu t'es trompé sur le nombre total de chaussettes.

Deux chaussettes de même paire sont de même couleur.
Notons P l'événement "même paire" et C l'événement "même couleur".
On a calculé la probabilité de C et celle de P. Comme dit plus haut, P est contenu dans C. Il ne va donc pas être très difficile de calculer la probabilité de la différence ensembliste C\P, et ce n'est pas 36/190.

Posté par
azerti75re : Probabilité 12-03-23 à 21:08

Bonsoir,

Vu qu'il n'a toujours pas compris la 2 ème question, un autre raisonnement possible

Tu tires une chaussette, peu importe la chaussette tirée, peu importe sa couleur.
Tu as juste tiré une chaussette au hasard. Il n'y a rien à calculer pour l'instant.

Maintenant, tu tires une autre chaussette au hasard.
Quelle est la proba qu'elle soit de la même paire que la 1ère chaussette tirée?

Sachant qu'il ne reste plus que 15 chaussettes ( 16 -1).
Et qu'une et une seule chaussette convient pour être de la même paire que la 1 ère.
Donc la réponse est 1 / 15

Posté par
GBZMre : Probabilité 12-03-23 à 22:57

C'est ce que proposait verdurin le 6/3 à 20:24.

Posté par
azerti75re : Probabilité 12-03-23 à 23:01

Ah oui en effet, au temps pour moi.

Je me suis fait un noeud au cerveau à essayer de comprendre les raisonnements de Mathes1

Posté par
Mathes1re : Probabilité 13-03-23 à 08:46

Bonjour

Citation :
Notons P l'événement "même paire" et C l'événement "même couleur".
On a calculé la probabilité de C et celle de P. Comme dit plus haut, P est contenu dans C. Il ne va donc pas être très difficile de calculer la probabilité de la différence ensembliste C\P,

Et notons A l'événement :"2 chaussettes soient de même couleur mais ne proviennent pas de même paire"
Donc C=PA
Donc P(PA)=P(P)+P(A)
Donc P(C)=P(P)+P(A)
P(A)=P(C)-P(P)=11/30-8/120=3/10
Merci à tous

Posté par
verdurinre : Probabilité 13-03-23 à 09:54

Bonjour,

\dfrac{11}{30}-\dfrac{8}{120}=\dfrac{44}{120}-\dfrac{8}{120}=\dfrac{\cdots}{120}

Posté par
verdurinre : Probabilité 13-03-23 à 09:56

Pardon, j'ai mal lu.
Ta réponse est bonne.

Posté par
GBZMre : Probabilité 13-03-23 à 17:29

La réponse est correcte, mis il y a tout de même quelque chose qui cloche et qui risque de te pénaliser: on n'a pas P(A\cup B)=P(A)+P(B) en général ! Ça ne vaut que si la réunion est DISJOINTE.


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