Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Probabilité couple

Posté par
v3x0 02-07-18 à 13:15

Bonjour à tous,
notre professeur nous a donné un exercice sur les loi de couple: il s'agit de trouver des conditions sur un paramètre pour qu'une expression donnée corresponde à une loi de probabilité d'un couple de variables aléatoires discrètes.

Voici l'énoncé:

1°) Trouver des conditions sur \lambda>0 pour que p_{i,j}=\frac{\lambda^je^{-2\lambda }}{(j-i)!i!} \\ représente une loi de probabilité du couple (X,Y),\forall({i,j})\in\mathbb{N}^2


2°)Soit Z=X-Y. Calculer la loi de (X,Z) et en déduire les lois de X et de Z


Etant très mauvais avec le maniement des sommes et des séries, je bloque assez vite...
Je pense qui faut poser que la double somme pour i et j des entiers de pij doit valoir 1, mais j'en arrive a exprimer une somme de j-0 à i de \frac{\lambda ^j}{(i-j)!i!} et je ne m'en sort pas.
Si quelqu'un pouvez m'aider, cela serait fort aimable à lui !

Posté par
lafol Moderateurre : Probabilité couple 02-07-18 à 13:30

Bonjour

Comment définis-tu la factorielle d'un entier négatif ? tu as recopié ton énoncé en entier, à la lettre près ?

Posté par
v3x0re : Probabilité couple 02-07-18 à 13:32

Bonjour,
effectivement, j'ai oublié de marquer que j>i, ce qui change en effet beaucoup de choses...

Posté par
carpediemre : Probabilité couple 02-07-18 à 13:39

salut

vu qu'il apparaît la factorielle (j - i)! on vas sommer pour i variant de 0 à j ...

ou encore on considère que (j - i)! = 1 si i > j

enfin faut voir ...

que vaut p_{i,j} si j < i ?

\sum_i \sum_j \dfrac {a^j e^{-2a}} {(j - i)! i!} = \sum_j a^je^{-2a} \dfrac 1 {j!} \sum_i \dfrac {j!} {(j - i)! i!} = \sum_j \dfrac {(2a)^j e^{-2a}} {j!} = 1

car on reconnait la loi de Poisson de paramètre 2a

et alors il n'y a aucune condition sur a ...


sans aucune certitude ...

Posté par
lafol Moderateurre : Probabilité couple 02-07-18 à 13:40

en effet !

donc si on résume, j varie dans IN*, et i varie de 0 à j-1

\large \sum_{j=1}^{+\infty}\sum_{i=0}^{j-1}{p_{i,j}} =e^{-2\lambda} \sum_{j=1}^{+\infty}\left(\lambda^j\sum_{i=0}^{j-1}\dfrac{1}{(j-i)!i!}\right)

la somme intérieure fait furieusement penser à la formule de développement du binome, tu ne trouves pas ?

Posté par
carpediemre : Probabilité couple 02-07-18 à 13:41

bon pas vu les corrections pendant que je rédigeais ...

encore une fois j'ai du prendre les devants ...

Posté par
lafol Moderateurre : Probabilité couple 02-07-18 à 13:41

la réponse de Carpi apparue pendant que je mettais la mienne en forme me fait m'interroger : quand tu écris j > i, c'est bien j > i ? et pas j\geq i ?

Posté par
carpediemre : Probabilité couple 02-07-18 à 13:43

v3x0 @ 02-07-2018 à 13:32

Bonjour,
effectivement, j'ai oublié de marquer que j>i, ce qui change en effet beaucoup de choses...
est-ce  i < j  ou  i \le j ?

Posté par
v3x0re : Probabilité couple 02-07-18 à 13:50

Merci à vous deux pour vos réponses. Je me suis aussi fait avoir, on a i\leqj, désolé pour la petite erreur.

Mais je pense que cela permet juste d'écrire la somme de i=0 à  j et de commencer celle de j à 0, non?

Je pense qu'il ne manque plus qu'à faire apparaitre un j! au numérateur de la deuxième somme et un 1/j!

On a donc au final la seconde somme qui vaut 2^j d'après le binôme et donc il reste \sum_{j\geq 0}{\frac{(2\lambda)^j}{j!}} qui vaut exp(2\lambda) et donc le tout vaut bien 1.


Ainsi, on doit juste avoir \lambda>0


J'essai de faire la 2°)

Posté par
lafol Moderateurre : Probabilité couple 02-07-18 à 13:57

tu as vu le temps perdu par tes imprécisions ?
chaque mot, chaque signe compte, dans un énoncé !

Posté par
v3x0re : Probabilité couple 02-07-18 à 14:10

Oui je sais, vraiment désolé!

Pour la deux, je suis parti comme ça:

\forall (k,l)\in \mathbb{N}^2 on a \left\{X=k;Z=l \right\}=\left\{X=k,Y=k+l \right\}

d'où P(\left\{X=k,Z=l \right\})=p_{k,l+k}=\frac{\lambda^{l+k}e^{-2\lambda}}{l!k!}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}*\frac{\lambda^le^{-l}}{l!}

Si X et Z étaient indépendante, je serais tenté de dire que X et Z suivent une loi de Poisson de paramètre \lambda car les variables sont séparé, or pour moi X et Z ne peuvent être indépendante....

Posté par
v3x0re : Probabilité couple 03-07-18 à 10:58

Après avoir réessayé, je retrouve exactement ces résultats. Est-ce que vous me les confirmez?

Posté par
lafol Moderateurre : Probabilité couple 03-07-18 à 12:20

Attention, ce que tu as calculé donnera Z = -\ell ....


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !