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Niveau école ingénieur
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Probabilité - Couple de variables aléatoires

Posté par
CrespyLk
28-04-22 à 19:47

Bonjour,

lors d'un dernier partiel je n'ai pas réussi à faire l'un des exercices.
J'écris alors ici pour demander de l'aide !

Voici l'énoncé :

Soit L une v.a. positive admettant une densité de probabilité f et X une v.a. de loi uniforme sur [0,1], indépendante de L. On définit deux v.a. L1 et L2 par L1 = XL et L2 = (1 − X)L,
(cela modélise par exemple la rupture d'une chaîne moléculaire de longueur initiale aléatoire L).

1) Déterminer la loi du couple (L1, L2) ainsi que les lois de L1 et L2.
2) Que peut-on dire du couple (L1, L2) lorsque
f(x) = (λ^2)x exp(−λx)1I[0,+∞[(x),  (λ > 0) ?
3) Déterminer la loi de Z = min(L1, L2)


Je n'ai rien pu faire lors du partiel, j'ai de grosses lacunes concernant cette partie de mon cours.

La question 1) me pose problème, si j'arrivais à la faire la question 2 et 3 devraient aller de pair.

Je vous remercie d'avance pour votre aide,

Posté par
flight
re : Probabilité - Couple de variables aléatoires 29-04-22 à 08:03

Salut, rien n'est dit sur f au début de l 'énoncé ?

Posté par
CrespyLk
re : Probabilité - Couple de variables aléatoires 29-04-22 à 12:42

Salut !

Non rien, j'ai réécris le sujet au complet

Posté par
GBZM
re : Probabilité - Couple de variables aléatoires 29-04-22 à 14:00

Bonjour,

On remarque que L=L_1+L_2 et X= \dfrac{L_1}{L_1+L_2}. Ça peut aider pour la question 1.

Posté par
ty59847
re : Probabilité - Couple de variables aléatoires 29-04-22 à 14:02

Pour la question 1, je pense que c'est une question de cours : on a 2 v.a. une uniforme sur [0,1] et l'autre quelconque positive, que sait-on sur leur produit ?
C'est trop vieux pour moi, je ne sais pas répondre.
En plus, on parle de loi du couple ... loi d'un couple de v.a. : si ça te parle, quelles sont les questions auxquelles il faut répondre quand on parle d'un couple de v.a.  ? Par exemple, la 1ère question qui vient à l'esprit, c'est est-ce que les 2 variables sont indépendantes.
J'ai trouvé ça :

La question 2, on est sur du plus concret.
Maintenant, on connaît f.  
Cette question est moins théorique que la 1, puisque maintenant, on connaît f.
On peut faire des calculs



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