Je bloque à la dernière question de cette exercice :

question préliminaire: soient deux matrices M=((2,1,1);(1,2,1);(1,1,2) et I=((1,0,0);(0,1,0);(0,0,1); on pose J=M-I.
   ->montrer par récurrence qu'il existe une suite (un) telle que :
pour tout n dans N, M^n=I+un.J (avec par convention M^0=I).
   ->donner l'expression de un en fonction de n.


Les poules pondent des œufs que l'on classe selon trois calibres : A(gros), B(moyen) et C(petit). On estime que si la poule pond un œuf d'un certain calibre(par exemple A), l'œuf qu'elle pondra ensuite aura une probabilité de 1/2 d'être de même calibre et de probabilité 1/4 pour les deux autres calibres(donc 1/2 pour A et 1/4 pour B et C).

1°Soit n dans N*.On désigne par An, Bn, Cn les probabilités respectives pour le nième oeuf pondu par une poule soit de calibre A, B ou C.
On pose Xn=(An,Bn,Cn).
      a) calculer An+1, Bn+1, Cn+1 en fonction de An, Bn et Cn.En déduire une matrice carrée U telle que Xn+1=U.Xn.
      b)Exprimer U ne fonction de la matrice M=((2,1,1);(1,2,1);(1,1,2). En déduire U^n en fonction de n.

2°on suppose ici que le premier oeuf pondu par une poule est petit (calibre C). On a donc A1=0, B1=0, C1=1.
Déduire des questions précédentes An, Bn, Cn en fonction de n ainsi que la limite des ces trois suites quand n tend vers plus l'infini.

Résultat trouvés aux question précédentes :

u_n+1 = 4*un + 1 => un = 1/3*4^n-1
a_n+1 = 1/2*an+1/4*bn+1/4*cn
b_n+1 = 1/4*an+1/2*bn+1/4*cn
c_n+1 = 1/4*an+1/4*bn+1/2*cn
U=1/4*M => Uⁿ=1/4ⁿ*Mⁿ

Merci pour votre aide