Bonjour j'ai un exercice à faire avec quelques questions qui me bloquent :

Un site internet propose des jeux en ligne dont les probabilités sont les suivantes :
si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante vaut 2/5.

si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante vaut 4/5.

Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G_n l'événement «l'internaute gagne la n-ième partie» et on note p_n la probabilité de l'événement G_n. L'internaute gagne toujours la première partie et donc p₁=1.


1.Justifier que p₂=0,4.

2.a)Montrer  que, pour tout n entier naturel non nul, p_n+1=


b.)Calculer la probabilité que l'internaute gagne la deuxième ou la troisième partie.

3. Etude de la suite (p_n)

a)Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, p_n1/4.

b) En déduire que la suite (p_n) est décroissante.
c) En déduire que la suite (p_n) est convergente et calculer sa limite.


1.L'internaute gagne toujours la première partie donc p₁=1 donc la probabilité qui gagne la partie suivante est de 2/5, soit p₂=0,4.

2.a) G_n et G_nbarre forment une partition de l'univers. Donc d'après la formule des probabilités totales :

p_n+1=p(G_n+1)=p(G_nG_n+1)+p(G_nbarreG_n+1)
=p(G_n)*p_Gn(G_n+1)+p_{Gn barre}*p_{Gn barre}(G_n+1)

=2/5*pn+(1-pn)*1/5
=2/5*pn+1/5-1/5*pn
=1/5pn+1/5.

b) Je me suis arrêté là car je bloque...